ФРАКТАЛЫ В АКУСТИКЕ
© FRACTAL ACOUSTICS, 2001
 
FRACTALS IN ACOUSTICS
 

Фракталы в природе
Широкое применение фрактального описания физических явлений началось с работ Мандельброта. Еще Пуанкаре заметил, что правильно выбранный термин способен иногда творить большие чудеса, чем самая правильная и точная теория. Всякий новый термин проходит примерно одни и те же стадии своего развития. Первоначально его творец вкладывает некую простую ассоциацию в выдуманное им новое слово. Оно бывает призвано характеризовать некую резко бросающуюся в глаза черту, которая на первых порах бывает с трудом выразима в объективных понятиях. Так было и с термином "фрактал". Фрактал означает ломанный, нерегулярный. Мандельброт придумал его, как производную от латинского слова fractus, что означает ломанный, фрагментарный, нерегулярный. Мандельброт был первый, кто показал, что многие математические модели, раньше принимаемые, как представляющие интерес только для чистой математики могут быть с успехом применимы для описания явлений природы и социальной сферы.
Но то, что Мандельброт назвал фрактальная геометрия, применялось задолго и до него, правда, без понимания всей ее важности. Фрактальную геометрию можно считать зародившийся во время кризиса математики конца 19 века. Когда Дебуа Раймон в 1875 году первый опубликовал сообщение о непрерывной не дифференцируемой функции, построенной Вейерштрассом. Кризис математики продолжался приблизительно до 1925 года. Основными его участниками были Кантор, Пеано, Лебег и Хаусдорф. Не смотря на обычный взгляд на теории этих математиков, как не относящиеся к реальной жизни, Мандельброт показал всю их важность в построении физических моделей.

 


Обычно понятие фрактала начинают объяснять на примере измерения длины берегов Великобритании. Мы не будем отходить от этой традиции, только немного изменим сам пример.
Предположим, исследователь поставил перед собой задачу измерить длину сильно изрезанного побережья. Для этого он пользуется фотографиями со спутника. Выбирая фотографию с самым крупным масштабом, он с помощью нитки или вычисления расхода краски, примерно обрисовывает береговую линию. Затем, домножая длину нити на масштаб, он находит примерную величину береговой линии. Далее он выбирает следующую фотографию, с более мелким масштабом. Процедура повторяется, и исследователь находит новую, более точную длину береговой линии. Продолжая так, он ожидает, что его длины будут сходиться к некоторой величине, которая и является истинной величиной длины береговой линии. Но вместо этого он получает стремящийся к бесконечности ряд величин. Поэтому, если исследователь попытается сравнить разные береговые линии по их длине, то его ждет неудача. Проблема в том, что на масштабе 1/10000 видны крупные заливы, мысы и полуострова. Но, переходя от масштаба 1/10000 к масштабу 1/1000 становятся различимы более мелкие бухточки, заливчики и мыски. При еще более точной фотографии местности 1/100 можно различить уже следующий уровень еще более мелких заливчиков и мысов. Все эти мелкие заливчики и выступы добавляют свою часть в общую длину береговой линии. И этот ряд длин не стремится к какой-нибудь конечной величине.
Можно придумать другие способы измерения длины береговой линии. Например, предположить, что некий великий пуантилист подался в картографы. Тогда он представит береговую линию точками с радиусом , и можно будет по его карте посчитать длину береговой линии. Но как только он уменьшит радиус точки, вычисленная длина возрастет. И так она будет возрастать без предела.
Если длина береговой линии равна бесконечности, становится интересно посмотреть, как зависит длина береговой линии от масштаба фотографии, по которой он измерял эту длину. Ричардсон (1961) заметил, что длина береговой линии в зависимости от масштаба довольно точно описывает экспоненциальной функцией. Замечательно, что у разных береговых линий эта зависимость разная. Точнее, пусть мы покрывает береговую линию интервалами длины . Тогда для покрытия всей береговой линии между двумя точками на карте нам понадобится приблизительно интервалов, где - число интервалов, и - некоторые константы. При этом "измеренная" нами длина береговой линии будет равна .
Ричардсон нашел, что для разных береговых линий получаются разными, но даже для одной береговой линии в разных ее местах могут получаться не одинаковыми. Вообще, забегая вперед, скажем, что фрактальная размерность обычно локальное свойство объектов. Это естественно приводит нас к понятию мультифрактала, которое мы обсудим чуть позднее.
Что же будет, если мы захотим посчитать таким способом длину некоторой кривой, например круга, или длину береговой линии в районе Сочи. Для круга, его длина через несколько итераций уменьшения размера интервала сойдется к некоторой величине. Для благоустроенной береговой линии сначала при размерах квадрата сравнимого с размерами невыпрямленными человеком (большие бухты и полуострова) длина береговой линии будет увеличиваться, затем на некоторых масштабах от сотен метров до метров вычисленная длина примерно стабилизируется на некоторой отметке. Но, при дальнейшем уменьшении длины покрывающего интервала, станут вносить свой вклад в измеренную длину камни и прочие незначительные природные детали, что приведет к продолжению расхождения длины береговой линии по степенному закону.
Мы вынуждены были сделать заключение о бесконечной длине всех береговых линий. Как же тогда их всех сравнить между собой? Адекватным параметром является фрактальная размерность .
В то время, как для Ричардсона ничего не значило, кроме как просто некоторая эмпирическая константа, Мандельброт заметил, что подобным же образом в математике определяют размерность множества. Это позволило интерпретировать как фрактальную размерность.
Мандельброт определил фрактал, как множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго превосходит топологическую размерность. В дальнейшем оказалось, это определение не включает некоторые множества, расцениваемые большинством математиков в качестве фрактальных.

Применимость понятия фрактала в акустике
Фракталы и мультифракталы стали довольно быстро применять в акустике. Это связанно с тем, что при изучении распространение звука в природных условиях исследователь всегда сталкивается с природными фракталами и мультифракталами. Это и волнение моря, и распределение пузырьков в приповерхностном слое океана. Фрактальной размерностью хорошо характеризуется дно океанов и морей. Осадки на дне океана также имеют фрактальную природу. Распространение звука в подводном звуковом канале показывает, что в ПЗК также имеются фрактальные множества.
Фрактальные множества имеются не только в воде. Их влияние на распространение звука, нельзя игнорировать также при распространение в атмосфере.
Везде, где звуковые колебания распространяются в турбулентной атмосфере или взаимодействуют с турбулентной границей, на распространение звука влияют фрактальные множества.
Это позволяет по измеренному звуковому полю восстанавливать характеристики среды, с которой он взаимодействовал или через которую распространялся.

   
HOME FRACTAL ACOUSTICS SURFACES MEDIUM LITERATURE FRACTALS MULTIFRACTALS SOFTWARE LINKS CONTACTS