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UNA CARRERA SINGULAR Antonio Rivera Figueroa. México, D. F., marzo 2000. INTRODUCCIÓN En este fascículo planteamos un problema cuya solución requerirá de herramienta matemática correspondiente a los siguientes temas
De acuerdo a los propósitos generales de la propuesta educativa, de la cual forma parte este fascículo, se recomienda fomentar la discusión y la iniciativa de los estudiantes para conjeturar y experimentar con diversas propuestas de solución para un problema dado. Una primera reflexión deberá enfocarse hacia la comprensión de los datos del problema y las incógnitas que plantea, en el caso del problema que se expone en este fascículo es particularmente importante establecer cuáles son estas incógnitas, pues en el planteamiento del problema no son explícitas. La exposición ante el grupo de las diversas ideas que surjan para la solución por parte de los estudiantes, contribuirá a la experiencia de todos los participantes y un registro de las propuestas de solución seguramente será de utilidad para el profesor. Es altamente recomendable el uso de la calculadora y de preferencia la computadora personal. No son estrictamente indispensables estos recursos electrónicos, pues si no se tiene acceso a ellos, el profesor podrá utilizar para la discusión, los cálculos y gráficas que hemos incluido en el fascículo. En este caso, sin embargo, el estudiante perderá la oportunidad de descubrir por sí mismo situaciones matemáticas interesantes, y tampoco podrá escudriñar o investigar sobre preguntas que planteamos durante el proceso de resolución del problema. Vale la pena destacar que las gráficas que aparecen al final del fascículo son un elemento importante de discusión, pues además de ilustrar diferentes casos similares al originalmente planteado, pueden ser el inicio del análisis del problema con el fin de determinar el efecto de los parámetros sobre la solución. Recomendamos al profesor que, paralelamente y en su oportunidad, haga las pausas pertinentes para cubrir los temas matemáticos que requiera para la resolución del problema, proponiendo en cada caso los ejercicios y tareas que considere adecuados. El problema planteado al inicio del fascículo, cuya solución depende básicamente de la determinación de los valores mínimos de dos funciones, ciertamente puede resolverse con las técnicas del Cálculo Diferencial. No está por demás comentar, que aún con esta herramienta se presentan algunas dificultades técnicas, debidas a la propia naturaleza de las funciones que surgen. Sin embargo, no es esta la razón por la cual no acudimos al Cálculo Diferencial, sino más bien pretendemos con este acercamiento, iniciar al estudiante de los primeros semestres del bachillerato, en la solución problemas, quizá "propios" del Cálculo Diferencial, con herramientas algebraicas y gráficas. En este caso, como en muchos otros, las gráficas juegan un papel muy importante no solamente para la solución del problema, sino para la comprensión de una situación que de inicio se antoja un tanto compleja. La ausencia de las técnicas del Cálculo Diferencial en este fascículo es deliberada, pero estas últimas están contempladas para futuros fascículos en proceso, en donde no solamente se aspira a mostrar que hay herramienta más sofisticada para resolver el problema, sino también se mostrará que el problema admite extensiones o generalizaciones de alto grado de complejidad matemática, así como que éste y las generalizaciones que presentaremos, son prototipo de una familia de problemas que se resuelven con el mismo patrón o modelo matemático. Antonio Rivera F.
UNA CARRERA SINGULAR Problema. Pedro y Juan compiten en una carrera, parte de la cual se realiza sobre tartán y otra parte en fango. Pedro ha participado en olimpiadas internacionales, mientras que Juan solamente ha participado en competencias de su pueblo. Pedro es más veloz que Juan en tartán, pero Juan corre más rápido que Pedro en el terreno lodoso. Ambos corredores partirán de un punto A, que se encuentra dentro de la zona de tartán y la meta es un punto B que se encuentra en el fango, a una distancia de 100 metros del punto A en línea recta.
En carreras de 100 metros, las velocidades que desarrollan en promedio cada uno de los corredores son las siguientes: En tartán: Pedro puede correr a una velocidad promedio de 36 kilómetros por hora (100 metros en 10 segundos) y Juan a una velocidad promedio de 30 kilómetros por hora (100 metros en 12 segundos). En el fango: Pedro corre, también en promedio, a una velocidad de 12 kilómetros por hora, mientras que Juan es más rápido y corre a una velocidad promedio de 20 kilómetros por hora. Como referencia, en las tablas de la página 14, se muestran las marcas olímpicas y mundiales para carreras de varones de 100 metros. Se pregunta: ¿Quién gana la carrera, Pedro o Juan? Si la carrera se realizara en un solo tipo de terreno, la respuesta sería muy simple: en tartán gana Pedro, en fango gana Juan. Pero en este caso especial la respuesta dependerá de las posiciones relativas de los puntos A y B respecto a la línea que separa los dos diferentes terrenos. La figura de abajo está hecha a escala y representa un esquema del terreno donde van a competir. Cada centímetro representa 10 metros. La línea recta que aparece en la figura representa la división entre los dos tipos de terrenos.
La distancia más corta entre el punto A y la línea divisoria es de 35 metros, mientras que del punto B a la misma línea es de 25 metros. La distancia entre los puntos A y B es de 100 metros. Uno de los aspectos más importantes de esta carrera es que cada atleta deberá elegir su propia ruta, de acuerdo a sus habilidades en cada tipo de terreno.
Aparentemente, Pedro, que es más veloz que Juan en tartán, debería usar lo más posible la pista de tartán y correr lo menos posible en el terreno fangoso. Por otra parte, pareciera que Juan debería tratar de llegar cuanto antes al fango para aprovechar su ventaja sobre Pedro en este terreno.
Tenemos tres trayectorias, a saber, ANB, AMB y AB. Para determinar qué trayectoria le conviene a cada uno y quién sería el ganador, eligiendo cada atleta el camino más conveniente, calculemos primero los tiempos que emplearían los corredores para cada uno de estos caminos. Veamos primero el caso de Pedro. Calculemos el tiempo que le llevaría recorrer la trayectoria ANB; para ello determinemos las distancias AN y NB. La distancia entre los puntos N y B es un dato del problema y es de 25 metros. La distancia AN podemos determinarla aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ANM, para lo cual necesitamos conocer la distancia NM.
La distancia entre los puntos N y M puede calcularse usando el triángulo rectángulo ABC. En este triángulo la hipotenusa mide 100 metros y el cateto AC mide 35+25=60 metros. Entonces la longitud (en metros) del cateto BC es
Pero la distancia entre los puntos B y C es igual a la distancia entre los puntos N y M, así que NM=80 (metros). Ya conociendo esta distancia NM podemos calcular la distancia entre los puntos A y N que es la longitud de la hipotenusa del triángulo ANM. La hipotenusa AN del triángulo rectángulo ANM es
Tenemos entonces que si Pedro optase por esta ruta correría
Para calcular el tiempo en segundos que le llevaría a Pedro recorrer 87.321 metros a una velocidad de 36 km/hr, convirtamos primero esta velocidad a unidades m/seg. En este caso, 36 km/hr es equivalente a 10 metros por segundo, o sea
¿Cómo se hace la conversión en general de una velocidad dada en kilómetros por hora a una velocidad en metros por segundo?. ¿Cómo se hace la conversión de una velocidad dada en metros por segundo a una velocidad en kilómetros por hora?. Ahora sabemos que Pedro recorre 87.321 metros a una velocidad de 10 m/seg. Pero la velocidad media, la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerse esa distancia están relacionados por la fórmula
así que el tiempo se calcula como
Por lo tanto, el tiempo en segundos que emplearía Pedro en recorrer 87.321 metros a una velocidad de 10 m/seg es
Ahora calculemos el tiempo que le llevaría a Pedro recorrer los 25 metros en el fango, a una velocidad de 12 km/hr. Esta velocidad es equivalente a
Por lo tanto, el tiempo en segundos que emplearía Pedro en recorrer los 25 metros en el terreno fangoso es
El tiempo total en segundos que le llevaría a Pedro en llegar a la meta recorriendo esta trayectoria es
¿Qué tiempo emplearía Pedro, si corriera por la línea recta que une los puntos A y B?.
El tiempo Para calcular los tiempos
¿Cómo podemos determinar las distancias AP y PB?. Para calcular estas distancias observemos que en la siguiente figura los triángulos ABC y APM son semejantes.
De las propiedades de semejanza obtenemos que
o sea
De donde obtenemos que la distancia AP en metros es
O sea
Por otra parte, la distancia PB se obtiene restando de la distancia AB la distancia AP, es decir
O sea
Así que el tiempo de recorrido está dado por
Recordemos que el tiempo que Pedro emplearía en recorrer la trayectoria que pasa por el punto N es de 16.232 segundos, por lo que si corre en línea recta necesitará más tiempo para llegar a la meta. ¿En qué tiempo recorrerá Pedro la trayectoria AMB?.
Pedro recorre el tramo AM
de 35 metros, a una velocidad de 10 m/seg y la distancia MB la
recorre a una velocidad de
La distancia MB es entonces
Por lo tanto, el tiempo total de recorrido de la trayectoria AMB es
De las tres trayectorias analizadas, vemos que la más conveniente para Pedro es ANB, pues es la trayectoria que le requiere menos tiempo: 16.232 segundos. Abajo aparece una tabla donde hemos concentrado los tiempos para ambos atletas, para cada una de las tres trayectorias. Se sugiere al lector que realice todos los cálculos correspondientes para Juan, para lo cual podrá usar las distancias que aparecen en la siguiente figura.
Recordemos que las velocidades que desarrolla Juan en cada terreno son: En tartán: 30 km/hr=
En fango:
20 km/hr= De las tres trayectorias Juan hace el menor tiempo si corre por la línea recta APB. De estas trayectorias, la mejor para Pedro es ANB. Si los atletas tuviesen que elegir una de las tres trayectorias, el ganador sería Juan.
¿Habrá alguna trayectoria que pueda recorrer Pedro en menos de 16.232 segundos?. Con el propósito de responder esta pregunta, sugerimos al lector que calcule los tiempos para otras trayectorias. Por ejemplo, puede tomar puntos cada 10 metros a partir de N. En la figura adjunta hemos representado por Q un punto arbitrario de esta partición. Como en los otros casos, para calcular el tiempo que tarda Pedro en recorrer la trayectoria AQB, primero debemos determinar las distancias AQ y QB. Estas distancias divididas entre las velocidades promedio de Pedro en cada uno de los terrenos, nos darán los tiempos para cada uno de los segmentos:
El tiempo de recorrido de la
trayectoria, el cual llamaremos
En la siguiente tabla se muestran los valores obtenidos para los puntos de la partición. La primera columna indica la distancia a la cual se encuentra el punto Q de la partición del punto N.
Observemos que para la trayectoria que pasa a 10 metros del punto N el tiempo que le toma a Pedro recorrerla es menor que el tiempo que le lleva recorrer la trayectoria que pasa por N. Ahora que hemos determinado una trayectoria con menor tiempo, podemos plantear nuevamente la pregunta ¿Habrá alguna trayectoria que permita a Pedro terminar en un tiempo menor que 15.903 segundos?. De la información que aparece en la tabla, es natural buscar en el segmento comprendido entre el punto N y el punto que se encuentra a 20 metros de N. Dividamos este segmento en 10 partes iguales; es decir, tomemos puntos que disten 2 metros entre sí. La tabla adjunta muestra los tiempos obtenidos para estos puntos; se sugiere que el lector realice los cálculos para algunos de ellos.
Observemos que el menor tiempo de esta tabla se logra si Pedro pasa a una distancia de 8 metros del punto N. La diferencia con los tiempos para 6 y 10 metros es de centésimas de segundo. Para fines prácticos este rango de precisión es suficiente, aunque para algunos pudiera ser exagerado. Sin embargo en competencias internacionales, a partir de 1964 la avanzada tecnología electrónica ha permitido cronometrar tiempos hasta en centésimas de segundo.
Marcas olímpicas en 100 metros
Marcas mundiales en 100 metros
¿Podríamos afirmar que la mejor ruta para Pedro pasa a 8 metros del punto N?.
Podemos hacer un análisis similar para
el caso de Juan. En la primera de las tablas de abajo se muestran los
tiempos para la partición que consiste de los puntos que dividen el
segmento NM en 10 partes iguales. La segunda de las tablas
corresponde a una partición del segmento limitado por los puntos que se
encuentran a 10 y 30 metros respectivamente. En el centro de este
segmento se encuentra el punto de menor tiempo de la primera tabla. Los
tiempos para Juan los denotamos por la letra
¿Quién ganará la carrera, suponiendo que cada uno elige la trayectoria de menor tiempo?. Pareciera que Pedro no tiene oportunidad de ganar esta carrera, pues no hay trayectoria que le permita hacer menos tiempo que Juan. El menor tiempo que hemos obtenido para Pedro es de 15.880 segundos y lo logra si su trayectoria pasa a 8 metros del punto N. El menor tiempo que obtuvimos para Juan es de 14.088 segundos y lo logra si su trayectoria pasa a 18 metros del punto N. Pero todavía sigue en pie la pregunta ¿Habrá alguna
trayectoria que pueda recorrer Pedro en un tiempo menor que Y otra pregunta más ¿Habrá alguna trayectoria para la cual Juan reduzca aún más su tiempo?. Estas preguntas las podremos responder si damos al problema un tratamiento más general.
Construyendo y tabulando una función. Para sistematizar el cálculo de los tiempos que emplean los atletas para diferentes trayectorias, hallaremos dos funciones, una para cada atleta, que nos permitan calcular el tiempo para cualquier trayectoria que elijan. Comencemos con el caso de Pedro. Para definir una función que nos indique el tiempo que requiere Pedro en recorrer cualquier ruta, elijamos primero un sistema de referencia respecto del cual describiremos cualquier ruta. Elijamos un sistema de coordenadas que tenga como origen el punto N y el eje x a lo largo de NM.
Denotaremos por X
un punto variable sobre la recta que une los puntos N y M.
A este punto le corresponderá la coordenada Un milímetro representará un metro del terreno de carreras. El punto M se encuentra a 80 unidades positivas del origen.
Para un punto arbitrario X
de coordenada Del triángulo AXM obtenemos
O sea
Por otra parte, del triángulo BXN, obtenemos
Dado que Pedro corre a lo largo de AX
con velocidad promedio de
o sea
Con una calculadora o una computadora
personal, podemos construir una tabla de valores de esta función para
diversos valores de Las tablas para Juan pueden construirse usando la función correspondiente
Se sugiere que el lector obtenga esta función usando las velocidades que desarrolla Juan en cada uno de los terrenos. Con la ayuda de una calculadora o computadora personal, podemos ahora acercarnos con mayor precisión al punto sobre el segmento NM, por el cual pasa la trayectoria de menor tiempo para cada uno de los corredores. Con estos mismos recursos electrónicos
también podemos obtener las gráficas de las funciones
La curva de arriba corresponde a la gráfica de la función
que describe los tiempos para Pedro. La curva de abajo corresponde a
que describe los tiempos para Juan. A continuación presentamos tres problemas similares al planteado inicialmente en este fascículo, la diferencia con éste consiste solamente en las distancias respectivas de los puntos A y B a la recta que divide los dos tipos de terrenos, pero en todos los casos hemos mantenido la posición relativa entre los puntos A y B. Problema. La siguiente figura
muestra las posiciones de los puntos A y B, punto de
partida y meta respectivamente de los atletas Pedro y Juan. La distancia
del punto A a la recta es
Para cada uno de los casos que se
indican a continuación, determine quién es el ganador de la carrera y
calcule de manera aproximada el tiempo que emplea el ganador así como
el del perdedor, cuando cada atleta elige la trayectoria de mínimo
tiempo (trayectoria óptima). Observe que en cada caso
.
.
. Las funciones que utilizaremos para determinar las trayectorias óptimas para Pedro y Juan, en cada uno de los casos, se obtienen al sustituir los valores de a y b en las siguientes expresiones Para Pedro:
Para Juan:
Con la ayuda de una calculadora o una
computadora personal, se sugiere como actividad para realizar en equipos
de trabajo, la construcción de las siguientes tablas de valores de las
funciones ¿De los valores mostrados en las tablas, puede usted concluir en cada caso quién será el ganador?. Para determinar el ganador en cada
caso, será necesario hacer una tabla de valores de las funciones para
valores apropiados de la variable A continuación mostramos, para cada
uno de los casos, las gráficas de ambas funciones
Dado que a partir de estas gráficas, sobre todo para los casos (1) y (2), no es claro cómo se sobreponen las curvas, conviene modificar las escalas de los ejes para precisar las posiciones relativas de las curvas. A continuación mostramos parte de estas gráficas en otras escalas.
De las gráficas, podemos observar que en el caso 3, Pedro es el ganador.
Si usamos programas como Sketchpad o Cabri-Géomètre, podemos "dinamizar" el modelo geométrico-matemático del problema. Por ejemplo, si con cualquiera de estos programas construimos la figura
podemos hacer que el punto X se
desplace sobre la recta NM. Mientras el punto X se
desplaza sobre esta recta, es posible hacer que el programa nos muestre
el tiempo respectivo para la trayectoria AXB. De este modo
obtenemos casi de manera instantánea los tiempos para una gran cantidad
de puntos y podremos acercarnos al punto de menor tiempo para cada
atleta, conociendo además de manera aproximada el tiempo
correspondiente. Con estos mismos programas podemos hacer que en
pantalla aparezcan simultáneamente: la figura geométrica que
ilustra la situación, la gráfica de tiempo, digamos Invitamos al lector a resolver los siguientes problemas
, Pedro es el ganador?.
para el cual Pedro ocupe menos tiempo que Juan, siempre que ambos sigan la misma trayectoria?.
Finalizamos este fascículo planteando un problema que se resuelve con la misma herramienta matemática, pero formulado en un contexto un tanto diferente. Problema. En la figura de abajo se muestra esquemáticamente la siguiente situación. Dos hombres que se encuentran en el punto A deben trasladar sobre sus hombros un bulto de cemento de 50 kg. al punto B. Los bultos de cemento se encuentran distribuidos a un lado y a lo largo de la línea L. Uno de los hombres es de complexión robusta y mucho más fuerte que el otro. Este último es de complexión delgada y, cuando no lleva carga sobre sus hombros es más ágil y veloz que el hombre robusto, pero cuando corre con el bulto de cemento a cuestas, lo hace caminando con lentitud. El hombre robusto, sin embargo, prácticamente no pierde su poca agilidad cuando lleva el bulto de cemento. Con los datos que se dan a continuación, determine quién transporta más rápidamente el bulto de cemento.
Los dos segmentos de recta que unen respectivamente los puntos A y B con el punto P de la figura, simplemente es una muestra de una de las rutas que puede elegir cualquiera de los hombres. Estos dos segmentos de recta no necesariamente representan la ruta más conveniente para alguno de los hombres, cada uno de ellos debe elegir su propia ruta (la que le requiera el menor tiempo). |
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.
.
,
.
.
(seg).
que Pedro emplearía en recorrer esta línea recta es igual a la suma
del tiempo 
que
emplearía en recorrer la distancia AP en tartán y el tiempo 
que emplearía en recorrer la distancia PB por el fango.
y 
, primero debemos determinar las
distancias AP y PB.
,
.
.
.
.
.
.
m/seg. Esta distancia puede determinarse usando el Teorema de Pitágoras
aplicado al triángulo rectángulo MBC, cuyos catetos miden 80 y
25 metros respectivamente.
.
(seg).
.
y 
.
(la letra hace alusión al nombre de Pedro), será la suma de estos
valores, es decir
.
.
segundos?.
que será positiva si el punto se encuentra a la derecha de N. La
unidad que elegiremos será el milímetro, así que un punto que se
encuentre a un centímetro a la derecha de N, tendrá como
coordenada 
.
.
.
y la recta BX con velocidad, también promedio, de 
,
el tiempo P que requiere Pedro para recorrer esta trayectoria está
dado por
,
.
. Las tablas que
hemos construido para Pedro pueden ahora obtenerse a partir de esta
función y tomando las coordenadas de puntos sobre la recta NM.
.
y 
, las cuales nos
mostrarán, sin recurrir a los datos numéricos, quien será el ganador.
,
,
y la
distancia del punto B a la misma recta es b.
.
y 
y 
y 
.
.
y 
que
resultan para los tres casos.
.
También podemos obtener información a partir de las gráficas de las
funciones correspondientes.
y 
,
y una tabla de valores de esta función. Esta posibilidad de mirar a la
vez las tres diferentes representaciones incrementa nuestra comprensión
del problema y conoceremos mejor su solución.
,
¿para qué rango de valores de a