Virtuelle Welten aus dem Rechner -
Symbiose von Wissenschaft und Kunst *

Roland Bulirsch

Festvortrag
anläßlich der Jahresversammlung der Deutschen Forschungsgemeinschaft
am 17. Juni 1998 in Bonn

World Wide Web: http://www-m2.ma.tum.de/Veroeffentlichungen/VirtuelleWelten/

Dürer und die Perspektive

Keiner lese mich, in meinen Werken, der nicht Mathematiker ist 1. ... Leonardo da Vinci, als Wissenschaftler und Künstler alle Maßstäbe sprengend, spricht so von sich. Es war nicht nur so hingeschrieben. Leonardos Arbeiten, sein visionärer Blick, erwecken noch 500 Jahre später Bewunderung.

Die Renaissance und das ,,neue Sehen``. Die italienischen Künstler hüteten das Wissen um die neu entdeckte Perspektive als großes Geheimnis . Aus Venedig schreibt (1506) Albrecht Dürer, Freund Raffaels, dem Patrizier Willibald Pirckheimer in Nürnberg, ...werde ich nach Bologna reiten, um der Kunst in geheimer Perspektive willen, die mich einer lehren will. ...Dananch will ich mit dem nächsten Boten kommen .... Ihm graute vor der Heimreise in den kalten Norden.

Geometrie ist für Dürer Offenbarung der Naturgesetze. Einer, der nicht Algebra und Geometrie sowie alles, was man über Astronomie und Naturwissenschaften lernen kann, beherrscht, ist für ihn kein ganzer Maler. Den Johannes Müller aus dem unterfränkischen Königsberg, einen Erneuerer der Mathematik der Renaissance, studiert er. Die Welt kennt ihn als Regiomontanus. Columbus und Amerigo Vespucci sollen nach des Regiomontanus Sternkarten gesegelt sein. Die Schriften eines anderen Großen liest Dürer mit entzückter Verblüffung.

Berühmt war er schon zu Lebzeiten, der Sohn des Kryffts Hennen, eines einfachen Moselschiffers aus Bernkastel: Nikolaus von Kues, Cusanus, Kardinal Nikolaus von St. Peter in den Ketten. Giordano Bruno, der große Italiener und Rebell, rühmt den Cusaner ...daß er dem Pythagoras nicht gleich sei, sondern ein Größerer .... Dem thüringischen Dominikanermönch Eckhart von Hochheim in Köln, Meister Eckhart, ist er im Geiste verwandt, und Brücken führen zu Ramón LLull, genannt Raimundus Lullus, jenem katalanischen Mystiker aus Mallorca, mit dem er mathematische und logische Interessen teilt. Des Lullus Traktat von der Quadratur und Triangulatur des Kreises schreibt Cusanus eigenhändig ab. ...Mathematische Einsichten führen uns zum beinahe absolut Göttlichen und Ewigen ..., meinte er in seiner Schrift De mathematica perfectione, Über die mathematische Vollendung, gewidmet war sie dem Kardinal Antonius de la Cerda (1458). Mit Kurven- und Flächenmessung hat er sich beschäftigt, Cusanus, beinahe auch die Integralrechnung erfunden, 250 Jahre vor dem großen Leibniz. Leibniz: Musik ist für ihn eine verborgene Rechenübung der Seele, ohne daß die Seele weiß, daß sie rechnet. Der nüchterne und skeptische Golo Mann nennt ihn den göttlichen Leibniz, nirgendwo sonst bei Golo Mann findet sich dieses Adjektiv vor dem Namen eines Sterblichen, und wer wollte auch widersprechen.

In der Renaissance entdeckt die Kunst die Geometrie; die verschütteten mathematischen Dogmen architektonischer Vollkommenheit werden wieder ausgegraben. Vollkommenheit, so die revolutionäre Entdeckung der Antike, ist mathematisch bedingt; die Antike war von dieser Idee durchdrungen. In Qumran aufgefundene Schriftrollen zeigen Grundrisse für das Neue Jerusalem, eine Idealstadt, die man sogar nach mathematischen Gesichtspunkten, ausgesuchten Zahlenverhältnissen, bauen wollte. - Es war die Überzeugung der großen Baumeister der Renaissance, daß die sichtbare Welt, dort, wo sie sich in geometrisch vollendeter Kirchenarchitektur zeigt, die metaphysische erschließt 2. In Augsburg erscheinen Bücher über Mathematik; sie wurde als bedeutende Wissenschaft angesehen, sogar die Fugger interessierten sich dafür, zeichneten als Herausgeber der Werke des Euklid. In der Benediktinerabtei St. Ulrich und Afra verfaßt der gelehrte Mönch Vitus Rechenanleitungen: In seinen deutschen Texten aus dem Jahre 1500 erscheint zum ersten Mal das Wort computus, computj, (computieren); 470 Jahre später sollte es als Computer in deutschsprachigen Gebieten modisch werden.

In Nürnberg packt Albrecht Dürer alle seine Erkenntnisse über das neue Sehen in sein Werk Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt . Und dem ,,besonders lieben Herrn und Freund, Herrn Willibald Pirckheimer`` schreibt er ...Dieweil aber dies die eigentliche Grundlage aller Malerei ist, habe ich mir vorgenommen ...eine Grundlage zu schaffen ... [um] daraus die rechte Wahrheit [zu] erkennen .... ...gar leicht verlieren sich die Künste, ...schwer nur ...werden sie wieder erfunden ... . [Und] habe ich Euch dieses Büchlein aus besonderer Zuneigung und freundlicher Absicht zugeschrieben .... Dürer hatte sein Buch mit Herzblut geschrieben, schätzt es höher als seine Kunstwerke. In Deutsch hatte er es abgefaßt, Ratschlägen der Gelehrten zum Trotz, der damals noch ungelenken deutschen Sprache die Begriffe mühsam abgerungen 3.

Aber was kann uns Moderne, oder Postmoderne, mit welcher Vorsilbe auch immer, Dürer bedeuten, uns, die wir so klug scheinen, im Computerzeitalter leben, berauscht von Gigabyte und Terabyte, von Megaflops, Gigaflops und Teraflops 4, umgarnt und eingewickelt in weltweite Rechnernetze. Was kann uns schon einer bedeuten, der seit fast 500 Jahren auf dem Nürnberger Johannisfriedhof liegt? Jeder Rechner geht bei der perspektivischen Bilderzeugung genau wie Dürer vor, die Maschine kann es nur schneller als Dürer, viel viel schneller. Verwöhnt, verzogen wie wir sind, sehen wir Erkenntnisse der Wissenschaft, Erkenntnisse, um die jahrhundertelang gerungen wurde, als größte Selbstverständlichkeit, als trivial an. Albert Einstein war über diese Haltung entrüstet: Schämen sollten sich diese Menschen, sagte er 5.

Mathematik und moderne Malerei

Wahr ist aber auch, daß perspektivisches Sehen in der Kunst heute nicht mehr alles ist. Die Bilder eines van Gogh , eines Monet, eines Cézanne, führen in andere Kunstwelten, aber auch die Seherfahrung hat sich geändert, und Rechner waren daran beteiligt.

Große Maler teilten Dürers Begeisterung für streng rationale Wissenschaften. Paul Klee war überzeugt, daß es eine mathematische Grundlage aller Daseinsbereiche gibt. Die Cardinal-Progression (Folge 1,2,4,8,16,...) hatte es ihm angetan, er setzte sie in seine Bilder. In seinen Lehrgängen im Bauhaus Dessau waren Geometrie und geometrische Beziehungen für ihn von elementarer Bedeutung.

Wassily Kandinsky : ...Es kann alles als eine mathematische Formel ...dargestellt werden.

Von Kunst als mathematischer Struktur spricht der Schweizer Max Bill und meinte sogar, es sei möglich, Kunst weitgehend aufgrund mathematischer Denkweisen zu entwickeln, Natur und Kunst in der Mathematik zu verbinden.

Salvador Dalí begeistert sich für das Werk Stabilität und Morphogenese des französischen Mathematikers René Thom und malt in seinen letzten Lebensjahren nur noch Thoms Bilder , läßt sich immer wieder aus Thoms Werken vorlesen, widmet ihm Bilder , mathematische Abstraktionen in Dalís künstlerischer Welt  6.

Franck Kupka oder François Kupka, eigentlich Frantisek Kupka, war ein großer Maler. Ein Böhme tschechischer Zunge aus Prag, noch in der österreichisch-ungarischen Monarchie geboren, geht er über Wien nach Paris. Frankreich bleibt er treu bis zu seinem Tode 1957. Kurse an der Polytechnischen Hochschule und an der Medizinischen Fakultät hat er belegt. Jeder Künstler müsse eine solche Ausbildung haben, meint er, und er versteht moderne Maler nicht, die sich nicht zumindest eines Teleskops oder eines Mikroskops bedienen. Goethe hat er verehrt. Kupka malt gegenständlich , aber seine Sicht der Dinge änderte sich, er malte später Bilder, die merkwürdig berühren. Kupka baut sein Werk auf unregelmäßigen unsichtbaren Formen auf, die jedoch in der Natur existieren . Zwar verbinden sich für ihn Kunst und Wissenschaft, aber Kunst unterscheidet sich von Wissenschaft, meint er, steht manchmal im Widerspruch zu Erkenntnissen, die sich aus experimentellen Beobachtungen ableiten. Als Maler abseits aller modischen Strömungen arbeitend, hat er manchen Spott auf sich gezogen. Kupka wurde vergessen. - 80 Jahre später sieht man Kupkas Bilder wieder, von anderen als Kupka geschaffen, im Rechner nach streng mathematischen Gesetzen erzeugt ; Kupkas Bilder: Momentaufnahmen fraktaler Folgen. Kupka wußte nichts von fraktaler Geometrie, diese mathematische Disziplin gab es damals noch nicht.

Goethes fraktales Gebirge

Noch einer muß etwas geahnt haben. In Goethes undatierten Aufzeichnungen lesen wir 7 ...es gibt ein allgemeines Gesetz nach welchem alle materielle Massen sich gestalten, und dieses Gesetz offenbaren uns die Gebirge .... Gestaltung einer Masse setzt ...voraus ...daß sie auf eine entschiedene Weise in ... untereinander ähnliche Teile sich trenne. Das unorganische ist die geometrische Grundlage der Welt. ...

Untereinander ähnliche Teile, ,,selbstähnliche`` Teile, selbstähnliche Mengen, die fraktale Geometrie kennt diesen Begriff: unterteilt man Punktmengen nach den Gesetzen dieser Disziplin, unterteilt sie immer weiter, generiert eine unendliche Folge untereinander ähnlicher Teile , erhält man verblüffende Ergebnisse . Bleibt man im Zweidimensionalen, entstehen Umrisse von Kontinenten, Küstenlinien , Flächen wie man sie in der Natur sehen kann; sind die Ausgangsmengen dreidimensional, erhält man, je nachdem wie die Rechnung geführt wird, Bilder von Gebirgsformationen und vieles andere mehr.

Gebirgskonturen als Resultate mathematischer Prozesse, die unendliche Folgen selbstähnlicher Teile sind. Was Goethes innere Auge gesehen hat, wissen wir nicht, können uns nur vom Rechner nach mathematischen Gesetzen algorithmisch erzeugte Bilder ansehen. Goethes sinnliche Phantasie als Bindeglied zwischen Kunst und Wissenschaft? Es bleibt Erstaunen, Bewunderung.

Bilderzeugung im Rechner

Die neue Archäologie, virtuelle Reisen in die Vergangenheit ist der Titel eines neuen Buches 8. Man sieht die Überreste antiker Kulturen , vertraute Bilder, und daneben Rekonstruktionen dieser Bauwerke - im Rechner erzeugt. Sehen wir einige an.

Virtuelle Welten 9. Der Bildgeber, Bilderzeuger ist der Rechner, und mit Hilfe der Mathematik lassen sich Bilder der Wirklichkeit berechnen. Das weiß man seit langem, half aber wenig, weil mathematische Strukturen nicht sichtbar gemacht werden konnten. Heute ist das anders. Das mächtige Hilfsmittel dazu ist der elektronische Rechenautomat. Aber wie macht er das?

Cluny, das große Kloster in Burgund mit seiner gewaltigen fünfschiffigen Kirche, über 200 Meter lang und 7 Türme hatte sie, war in der französischen Revolution zerstört worden. Im Rechner wurde die Kirche wieder aufgebaut, Cramer und Koob haben es in einem Buch dokumentiert: Ein Drahtmodell wird erstellt, die Formen zurückgeführt auf regelmäßige Grundkörper der Geometrie und durch Vereinigung und Verschneidung neue Formen gebildet. Einzelne Bauteile werden zu Bauteilgruppen zusammengefaßt, Stützen, Arkaden, Untergarden, Obergarden. Und dann wird ,,zusammengebaut``, nach alten, erhalten gebliebenen Plänen.

Zur Rekonstruktion zerstörter Synagogen Deutschlands siehe http://www.cad.architektur.tu-darmstadt.de.

Gelegentlich hört man, diese virtuellen Bauwerke könnten in der Realität nicht existieren, müßten aus statischen Gründen zusammenfallen; aber Güte der Simulation ist nur eine Frage der Qualität des verwendeten Rechenprogramms und des Rechneraufwands. Die zur Bildherstellung erforderlichen Rechenleistungen sind gewaltig, und erst recht, wenn bewegte Bilder erzeugt werden müssen. Man nennt es numerische Simulation, das ist die explizite Lösung mathematischer Gleichungen und die Umsetzung von Gesetzen der Darstellenden Geometrie in Bilder auf Rechnern; von immenser Bedeutung für die moderne Wirtschaft, für Schlüsselindustrien wie den Automobil- und Flugzeugbau, die Raumfahrt, die Elektro- und Chemieindustrie. Unverzichtbar. Fortschritte in der industriellen Produktion und Forschung sind ohne numerische Simulation nicht mehr vorstellbar. Mathematik und Informatik sind mit dem Rechenautomaten zum Rückgrat moderner Technik geworden.

Schnelle Rechner durch Miniaturisierung

Leistungsfähige Rechner wurden erst möglich durch Miniaturisierung der elektrischen Bauteile. Begonnen hatte alles im Oktober 1957, die Sowjetunion ihren ersten Kunstmond, den Sputnik, in eine Umlaufbahn um die Erde geschossen. Ein Schock für die Vereinigten Staaten. Ein neues Raumfahrtprogramm wird sofort etabliert, und für dieses Raumfahrtprogramm braucht man dringend kleine Rechner. Aber wie soll man mit Röhren bepackte Rechner kleiner bauen? Da war der Transistor, 1947 bei Bell entdeckt: zwei Drähte aus Phosphorbronze auf einem Germaniumkristall, damit konnte man schwache elektrische Ströme verstärken. Ähnliches gab es schon: Welker, Laborchef bei Siemens, hatte bereits 1945 Halbleiterverstärker gebaut. An Transistoren war man zunächst nicht interessiert, doch jetzt, 1957, in einer Art ,,Staatsnotstand``, baute man Transistoren - die waren teuer in der Herstellung - lötete sie in die Schaltkreise ein. Dann hatte man die Idee, alles zusammen auf eine Siliziumplatte zu bringen und aufgedampftes Metall als Leiterbahnen zu verwenden. Chip nannte man das Ding, Mikrochip. Dieser Mikrochip wurde von der NASA in ihre Geminiraketen eingebaut und auch in allen Raumfahrtprogrammen verwendet bis hin zum Apollo Programm. 1968 konnte man schon 64 000 kleine Schaltkreise auf einem Chip unterbringen.

Die Raumfahrt hatte die Rechnerentwicklung, die Miniaturisierung, vorangetrieben.

Vom Funktionieren der Transistoren hängt alles ab. Aber bevor man Millionen von ihnen auf ein kleines Stück Silizium einätzt, muß ihr funktionales Verhalten vorher im Rechner studiert werden, und dazu muß ein System von partiellen Differentialgleichungen gelöst werden. Solche Gleichungen im ,,Dreidimensionalen`` zu lösen ist schwierig. Die Lösungen sind in einen Film umgesetzt worden, Millionen von Zahlen wiedergegeben als Formen im Raum und als Farbe 10 in genau definierter Bedeutung; Mathematiker sprechen von der Wiedergabe der Lösungen in einem fünfdimensionalen Raum.

Auf die Mathematik ist man auch angewiesen, wenn viele solcher Transistoren zu ganzen funktionalen Blöcken auf den Chips verknüpft werden: Bei dieser ,,Schaltkreissimulation`` wird die korrekte Funktion eines Schaltkreisentwurfes abgesichert, noch ehe der Chip in Silizium gegossen wird. Wie der Chip arbeitet, läßt sich dann aus den Lösungen von Differentialgleichungen vorhersagen - zwar nur gewöhnliche Differentialgleichungen, dafür viele, Tausende, Hunderttausende, Millionen!

Schaltkreissimulatoren sind Schlüsselwerkzeuge beim Chipbau. Damit steht und fällt, ob ein Betrieb Chips produzieren kann oder vom Markt verschwindet.

Hohe Rechengeschwindigkeit und großer Speicher

Rechner, Computer, können im Grunde nur addieren, und es muß alles auf Additionen zurückgeführt werden. Fast so, wie in einer 500 Jahre alten Handschrift aus dem Kloster Tegernsee zu lesen: Algorismus wie man mit den Rechen pfennig hübsch Rechnen sol: Willtu Rechnen lernen mit Rechen pfennig durch ain subtilß vnd behends legen, so mach vil zeil mit ainer kreiden auf ainen Tisch, vnd lernt wie man ain zal zu der anderen legen vnd Rechnen sol. Das Addierwerk eines modernen Rechners tut auch nicht mehr: 0+0=0, 1+0=1, 1+1=2. In einem Chip hängen viele solcher Addierwerke zusammen. Was ist daran schon besonderes? Wenn es hochkommt, wird der Mensch etwa hundert Jahre alt, dann hat er etwa 3 Milliarden Sekunden gelebt. Die Addition von 1+1=2 dauert etwa eine Sekunde; drei Milliarden solcher Additionen könnte der Mensch in seinem ganzen Leben ausführen, Tag und Nacht müßte er rechnen, hundert Jahre lang! Der Prozessor eines Rechners kann auch drei Milliarden solcher Binärziffern addieren, aber in weniger als einer Sekunde. Oder er kann hundert Millionen zehnstellige Zahlen im Bruchteil einer Sekunde addieren. Weit verbreitet ist die Meinung, die Rechner sind in den letzten Jahren immer ,,klüger`` geworden, das sind sie nicht. Nur die unfaßbar hohe Rechengeschwindigkeit erlaubt es, immer kompliziertere Prozesse, die eine Unmenge von Additionen erfordern, auf den Rechnern auszuführen 11. Gerade bei der Bilderzeugung ist das der Fall. Noch vor wenigen Jahren wäre es nicht möglich gewesen, so komplizierte Prozesse auf Rechnern ablaufen zu lassen.

Auf einem Speicherchip, einem 4 Megabit Chip, sitzen vier Millionen Transistoren, dicht an dicht gepackt. Goethes Faust ließe sich darauf abspeichern. Ein 16 Megabit Chip enthält etwa 16 Millionen Transistoren auf der Fläche von einem Pfennig. Die ganze Bibel, Altes und Neues Testament zusammen, könnte man leicht auf zwei von ihnen speichern. Freilich ohne schöne Bilder, wie z. B. die von Doré, da gehen vielleicht zwanzig solcher Bilder auf den Chip.

Einer der neuesten ist der 256 Megabit Chip ; er wird noch nicht verkauft. Man kann mehr als eine Sekunde unkomprimierter Fernsehfarbbilder darauf speichern. Der neue Chip nähme alle 80 der neuen Bibelbilder des Wiener Malers Ernst Fuchs auf.

Roboter und Fahrzeugbau, Elchtest

Es gibt nicht nur Kunst, es gibt auch Autos. Autos werden heute von Robotern in Roboterstraßen montiert. Wie soll sich ein solcher Roboter bewegen: soll der Roboterarm möglichst schnell von einem Punkt zum anderen fahren, oder soll der Energieverbrauch minimal sein? Eine Frage der Mathematik. Der Roboter wird in mathematische Gleichungen, in Differentialgleichungen ,,aufgelöst`` . Und die Aufgabe wird zu einer Aufgabe der optimalen Steuerung . Die mathematische Lösung läßt sich in einen Film  12 umsetzen.

Autos werden zwar von Robotern montiert, aber im Rechner entworfen. Die japanische Kraftfahrzeugindustrie hatte damit schon vor Jahrzehnten Erfolg, und sie hatte Entwicklungszeit, Entwicklungskosten erheblich reduzieren können. Die europäische Fahrzeugindustrie ist später gefolgt. Fachjournalisten viel gelesener Zeitschriften und Zeitungen kommentieren das so. ,,Auto Bild``: ...Stolz auf superkurze Entwicklungszeiten, wird immer mehr auf die Computersimulation vertraut. Rechenmodelle ersetzen jedoch keine Fahrtests ... . Die ,,Neue Zürcher Zeitung`` 13: ...Der Computer, der Abgott der Jahrtausendwende, hat den Elchtest nicht bestanden, den Zusammenprall mit der realen Welt ... . Fahrwerksimulationen bei Kraftfahrzeugen laufen so ab. Ein Kraftfahrzeug wird in einem mathematischen Koordinatengerüst für 56 Variable entworfen. Die Bewegungen von Vorderachse und Hinterachse, der Reifen, des Motorblocks, des Schwerpunktes etc.: für jede dieser Bewegungen steht eine Variable als Funktion der Zeit. 56 zeitvariable Größen am Auto, die über Gesetze der Mechanik in (differentiellen) Beziehungen zueinander stehen. Mit weniger Variablen geht es nicht, mehr wären besser. Eisglätte, Bodenunebenheiten, Federstärken, Lenkungsfehler, Reifengüte, Motorkraft u. a. werden als Parameter eingegeben. Wir sehen uns dazu einen Film  14 an. Das virtuelle Auto wird auf eine Teststrecke geschickt. Ein virtueller Fahrer bedient Lenkrad, Gaspedal, Bremsen und versucht möglichst schnell die Testrunden zu absolvieren. Man sieht das fahrende Auto auf dem Bildschirm, doch dieses Auto ist nur das visuelle Abbild der Lösungen eines Systems von 56 Differentialgleichungen in einem 56-dimensionalen Lösungsraum. Auf Eisplatten kommt dieses virtuelle Auto ins Rutschen, bei falscher Bremsung schleudert es, fliegt aus der Kurve. Das Auto auf dem Bildschirm verhält sich getreu wie ein wirkliches Auto auf einer Testrecke.

Wird das Auto (im Rechner) ungünstig beladen, der Schwerpunkt nach oben verlagert, passiert ein Malheur, beim erzwungenen Slalomfahren fällt das virtuelle Fahrzeug um, wie in der Wirklichkeit. Die mathematischen Lösungen sehen den Unfall voraus, noch ehe das Fahrzeug gebaut ist. Freilich, von selbst, aus sich heraus, führt das Rechenprogramm keinen ,,Elchtest`` durch; ein reales Auto aber auch nicht.

Metamorphose der Pflanzen im Rechner

Beobachten wir Mathematiker bei (scheinbar) nutzlosem Spiel. Auf die Seiten eines Dreiecks setzen sie kleinere Dreiecke, auf deren Seiten noch kleinere und so fort bis ins Unendliche. Schneeflocken sehen (fast) so aus. Die ,,Finalkurve`` ist unendlich lang, würde man mit dem Finger über sie hinwegfahven, sie fühlte sich wie Schmirgelpapier an. Noch ein Kuriosum: In ein Quadrat setzen wir kleinere Quadrate, in diese noch kleinere, bis in alle Ewigkeit. Ergebnis? Ein Streckenzug, der ein Quadrat ganz ausfüllt!

Die Gesetze, nach denen beide Kurven erzeugt werden, lassen sich in Form einer genauen Berechnungsvorschrift, eines Algorithmus hinschreiben. Ein Rechenautomat kann in Verbindung mit einem Bildschirm die so erzeugten Kurven sichtbar machen, zwar nicht die Finalkurve, das ist prinzipiell unmöglich, wohl aber die Vorstufen, die der Finalkurve beliebig nahe kommen.

Man kann die einfache Berechnungsvorschrift etwas abändern, etwa so, daß wir von dem Blatt Papier, der Ebene, in den Raum hinausgehen, und man kann bei jedem Verfeinerungsschritt noch eine spiralförmige Drehung der kleinen Kurvenstückchen vornehmen. Man ist nicht gezwungen, die Kurvenstücke alle gleich lang zu machen: man kann das eine kürzer, das andere länger halten, wie es der Zufall eingibt. Alle diese Dinge lassen sich wieder in Form einer informatischen Anweisung, in Form eines sogenannten ,,String`` darstellen . Der Rechenautomat führt den Algorithmus aus. Und das Resultat auf dem Bildschirm: Es hat Ähnlichkeit mit einer Pflanze. Wir machen das Gesetz komplizierter, färben das entstehende Bild ein und erhalten merkwürdige Gebilde, die mit Pflanzen große Ähnlichkeit haben, und es liegt manchmal nur an unzureichenden Hilfsmitteln, daß sie nicht so vollkommen wie Pflanzen aussehen.

Goethes Metamorphose der Pflanzen, die Ableitung aller Pflanzen aus einer Urpflanze nach dem Gesetz der Zusammenziehung und Ausdehnung, versehen mit einer Spiraltendenz in einem Vertikalsystem 15. So hat Goethe das Pflanzenreich geschaut und sich dafür den Hohn der Zeitgenossen - auch der Nachwelt - eingehandelt. Es hat Goethe tief getroffen, aber Zeit seines Lebens hielt er selbstbewußt an dieser Idee fest: ...wie von einer Leidenschaft eingenommen und getrieben, mich ...durch alles übrige Leben hindurch damit beschäftigen mußte .... Begeistert hatte er schon 1787 aus Rom an Frau von Stein geschrieben: Die Urpflanze wird das wunderlichste Geschöpf von der Welt ...Mit ...dem Schlüssel dazu kann man ...noch Pflanzen ins Unendliche erfinden, ...die, wenn sie auch nicht existieren, ...eine innerliche Wahrheit und Notwendigkeit haben.

Daß mathematische Wissenschaften ihm den Schlüssel zu seiner Morphologie der Pflanzen liefern, würde ihn höchst verwundert haben. Der Schlüssel: Rechenprogramme 16, in denen ,,Zusammenziehung``, ,,Ausdehnung``, ,,Drehung``, ,,Spiraltendenz`` und anderes durch geometrische Transformationen algorithmisch mit größter Geschwindigkeit und in großer Mannigfaltigkeit erzeugt werden. Durch Festlegung von Eingangsparametern, Einsetzen von Zahlenkombinationen, erzeugt das Programm Gebilde, die wie natürliche Pflanzen aussehen. Ändert man die Eingangsparameter ab, erhält man neue Pflanzen. Durch Variation dieser Parameter wird eine unübersehbare Fülle botanischer Objekte erzeugt, Pflanzengestalten, eine virtuelle, künstliche Welt aus dem Rechner, ,,materialisierte`` Idee der Urpflanze.

Raumfahrt

Bedeutsame Anwendungen findet die Mathematik in der Raumfahrt. Königsdisziplin der Ingenieure nennt sie Ambros Speiser, der große Ingenieur der ETH Zürich. Es ist wahr. Nirgendwo werden Ingenieure in ihren Arbeiten so gefordert, wie in der Raumfahrt. Versagt draußen im All die kleinste Schraube, ist gewöhnlich das ganze Projekt verloren. Der Zwang zur Perfektion bis in die letzten und unscheinbarsten Dinge erzwingt strenge geistige Disziplin der Konstrukteure und bringt Erkenntnisse, die für den irdischen Alltag von größtem Wert und Nutzen sind. Es gibt zahllose Beispiele, die Rechnerentwicklung ist nur eines davon; die vielbeschworene Teflonpfanne nicht, Teflon gab es schon vorher.

Einer der NASA-Verantwortlichen hatte es so ausgedrückt: ...Die Leute sehen immer nur die großen Raketen. Aber das ist nur ein Teil und nicht einmal der größte in der Raumfahrt. Das andere, die überaus komplizierten Steuereinrichtungen, die gewaltige dazu notwendige Elektronik, die Berechnung der Flugbahnen, den riesigen, aber unabdingbaren Leitapparat auf der Erde, das sehen sie nicht .... Vom Start der Raketen bis zur Übermittlung und störungsfreien Rekonstruktion der Bilder, die von den Raumsonden zur Erde gefunkt werden, wird in unvorstellbarem Maße von kunstvoll ersonnenen mathematischen Methoden Gebrauch gemacht. Auch die Ermittlung der Bahn , die Raumsonden fliegen müssen, um mit minimalem Treibstoffverbrauch ihren Zielplaneten zu erreichen, ist eine mathematische Aufgabe, ein Mehrpunkt-Randwertproblem mit freien Rändern.

Zwischen den Planeten Mars und Jupiter liegt der Asteroidengürtel . Hier umkreisen Abertausende von kleinen Planeten - die Asteroiden - die Sonne. Der größte von ihnen besitzt einen Durchmesser von etwa 1 000 km, und bis zum Staubkorn hinunter sind alle Größen vertreten. Diese kleinen Planeten sind mit freiem Auge nicht sichtbar mit Ausnahme des Asteroiden Nr. 4 Vesta. Asteroid Nr. 4386 ist nach dem Astrophysiker Prof. Lüst benannt, Präsident der Alexander von Humboldt-Stiftung, Bonn. 4386 LÜST liegt etwas außerhalb des Gürtels, die LÜST-Bahn ist stark gegen die Ekliptik geneigt.

Die Berechnung der optimalen Flugbahn eines Raumfahrzeugs zu 4386 LÜST - es muß eine zweistufige Sonde sein - ist eine nicht leichte Aufgabe an die Mathematik 17. Optimal soll die Bahn in dem Sinne sein, daß möglichst wenig Treibstoff verbraucht wird, damit die Sonde viel Nutzlast mitnehmen kann. Auf dem Weg zu 4386 LÜST könnte die Sonde an anderen Asteroiden wie B 612 vorbeifliegen und den kleinen Prinzen aus Antoine de Saint-Exupérys Märchen besuchen.

Zurück in die Wirklichkeit. Die Ergebnisse der Rechnungen werden in einem Film 18 präsentiert.

Leben der Sonne

Sterne werden wie wir selbst geboren. Im Orionnebel blicken wir in eine der Werkstätten der Schöpfung; dort sind gerade neue Sterne, neue Sonnen, erschaffen worden. So mag es vor 4 oder 5 Milliarden Jahren um uns herum ausgesehen haben. Sterne sind aber auch sterblich - wie wir selbst. Große Sterne explodieren am Ende ihres Lebens mit unvorstellbarer Gewalt in gleißender Lichtfülle. Die vom Explosionsherd ausgehenden Schockwellen rasen dann für Jahrtausende durch das Weltall, verdichten dort vorhandene Materie und leiten die Geburt neuer Sterne ein. Auch die Sonne, die Erde, verdanken mit großer Wahrscheinlichkeit ihr Leben der Explosion eines Riesensterns, die vor unendlichen Zeiten stattgefunden hat. - Im Sternbild des Orion sehen wir einen sterbenden Stern , eine sterbende Sonne, die Beteigeuze.

Das Leben eines Sterns läßt sich durch ein System von partiellen Differentialgleichungen beschreiben. Generationen von Physikern, Ingenieuren, Mathematikern haben an der Aufstellung dieser Gleichungen über 90 Jahre gearbeitet. Seit kurzem kann man diese Gleichungen auch lösen, hohe Rechenleistungen und neue mathematische Verfahren machen es möglich.

Kein Stern ist uns so wichtig wie die Sonne. Ihr Anblick gibt den Engeln Stärke läßt Goethe den Erzengel Raphael die Sonne preisen 19. Leise schimmert Goethes Sehnsucht nach der Sonne Italiens durch; es war kalt damals in Deutschland, kälter als heute und noch kälter zu Dürers Zeiten. Wie wird mich nach der Sonnen frieren, hatte Dürer dem Pirckheimer geschrieben.

Tief im Sonneninnern wird Wasserstoff zu Helium ,,verbrannt``, dabei entsteht Energie in Form kurzwelliger Röntgenstrahlung; auf dem langen , Jahrmillionen dauernden Weg zur Sonnenoberfläche wird sie in Licht und Wärme umgewandelt. In jeder Sekunde lösen sich 4 Millionen Tonnen Materie in Strahlung auf, und in jeder Sekunde wird die Sonne um 4 Millionen Tonnen leichter. Aber die Sonne ist so riesig, selbst nach Milliarden Jahren ist der Verlust für sie ganz klein. Der nach außen wirkende Gasdruck und die nach innen ziehende Gravitationskraft halten die Sonne im stabilen Gleichgewicht.

Die Sonne: Ein gigantischer, aus ionisiertem Wasserstoff und Helium bestehender, frei im Raum schwebender und sich selbst regulierender Kernfusionsreaktor, der von seiner eigenen Schwerkraft zusammengehalten wird.

Druck, Temperatur, Leuchtkraft, Masse, chemische Häufigkeiten usw. als Funktionen von Ort und Zeit berechnet, beschreiben das Leben der Sonne. Wir lösen die zugehörigen Differentialgleichungen für die Sonne. Ein hochnichtlineares System von partiellen Differentialgleichungen vom parabolischen Typus, vollständig hingeschrieben füllen sie mehrere Seiten. Es ist ein freies Randwertproblem mit 3 freien (beweglichen) Rändern. Das Leben der Sonne, vom Zünden der Kernfusion vor etwa viereinhalb Milliarden Jahren bis zu ihrem Ende in etwa siebeneinhalb Milliarden Jahren, im Rechner gesehen. Leben wird die Erde noch eineinhalb Milliarden Jahre tragen können, eine unendlich lange Zeit, dann wird es so heiß, daß die Weltmeere verdampfen. Die Sonne wird noch weitere 6 Milliarden Jahre leuchten, vor ihrem Ende wird sie sich zu einem rötlich leuchtenden Riesenstern ausdehnen, der, von der Erde aus gesehen, fast den halben Himmel einnehmen und so groß wie die Merkurbahn sein wird. Die Sonne wird dann in rascher Folge ihre Gashülle abstoßen, sich zusammenziehen, sich wieder ausdehnen, erneut Gasmassen abstoßen ..., ein planetarer Gasnebel bildet sich, der bald im Weltraum entschwindet und einen winzigen, aber sehr schweren, langsam verlöschenden Zwergstern zurückläßt. 1 Kubikzentimeter Materie von ihm wiegt etwa 1/2 Tonne.

Das Leben der Sonne im Film  20. Der Film komprimiert die 12 Milliarden Lebensjahre der Sonne auf wenige Minuten. Das Leben eines hundertjährigen Menschen dauert gerade 1 Millionstel Sekunde.

Verkürzen wir ein Jahr auf eine Sekunde, dann lebt die Sonne 12 Milliarden Sekunden, und der Mensch schrumpft zu einem Lebewesen, das 80 oder 90 Sekunden, also gerade 1 1/2 Minuten Lebenszeit hat. 12 Milliarden Sekunden sind etwa 384 Jahre, das ist die Zeit zwischen 1614 und 1998. 1614 Geburt der Sonne, 1998 Tod der Sonne. Zwischen 1614 und 1998 leben wir und zwar um 1756, kurz nach Goethes Geburt. Von 1614 bis 1756 sind es gerade 4 1/2 Milliarden Sekunden, entsprechend den 4 1/2 Milliarden Lebensjahren der Sonne. 1756, die Millionen Jahre dauernde Entstehung des Menschen spielt sich in nur zwei Wochen ab, vom Trojanischen Krieg vor etwa 3000 Jahren bis heute ist es eine knappe Stunde, und in dieser Stunde leben wir, 90 Sekunden lang. Um im Zeitmaßstab zu bleiben: Es scheint vermessen, aus Beobachtungen über Sekunden, auf 384 Jahre zu schließen. Sicherheit gibt uns hier die Mathematik.

Wäre die Sonne nur wenig größer, würde sie, die Lösungen der mathematischen Gleichungen zeigen es, so schnell brennen, daß sich gar kein Leben auf einem Planeten entwickeln könnte. Bei nur 20% größerem Durchmesser, nicht viel also, wäre schon nach 1 Milliarde Jahren alles vorbei. Und erst, wenn die Sonne zehnmal so viel Masse hätte, schon nach ein paar Millionen Jahren - Millionen, nicht Milliarden - wäre aller Brennstoff der Sonne verpufft. Wäre die Sonne kleiner, wäre es besser, aber sie würde jetzt nicht heiß genug sein und die Planeten müßten sie dichter umkreisen, wären dann intensiver (Röntgen)Strahlung ausgesetzt und mächtige Gezeiten würden auf ihnen toben, für das Leben höchst gefährlich. Und wahrscheinlich hätte es sich gar nicht entwickeln können.

Wer hätte die Sonne besser bauen können.


An der Erstellung der Filme haben mitgewirkt: Francesco Montrone (Stromfluß im Transistor); Oskar von Stryk, Martin Vögel (Roboter, Kraftfahrzeug auf Teststrecke); Rainer Callies (Raumsonde zum Asteroiden 4386 LÜST); Markus Alefeld, Jörg Haber, Johann Reiter (Sternentwicklung).

Alle Filme zu sehen unter: http://www-m2.ma.tum.de/Veroeffentlichungen/ .

Die Projekte wurden unterstützt vom Bayerischen Forschungsverbund für Technisch-Wissenschaftliches Hochleistungsrechen, der Deutschen Forschungsgemeinschaft und dem BMBF.


Fußnoten:

       *     Den Herren F. L. Bauer und Kurt Magnus gewidmet für stete Anteilnahme und Belehrung.

  1.   Non mi legga qui non è matematico, nelli mia principi.

  2.   Irmgard Palladino in Die Kuppeln von Rom

  3.   Noch 300 Jahre später, 1809, wurde dem Carl Friedrich Gauß erklärt, Deutsch sei keine Sprache der Wissenschaft. Da hatten es die Engländer besser. Seit dem Spätmittelalter benützten englische Gelehrte, geistliche und weltliche, die lateinische Sprache als Steinbruch für den Bau der eigenen; anglisierten lateinische Wörter und führten sie in ihre Sprache ein. Allein in der Renaissance wurden der englischen Sprache über 10 000 neue Wörter, viele lateinischen Ursprungs, hinzugefügt. Sir Thomas Elyot 1531: Borrowings from Latin were part of the necessary augmentation of our language. Das blieb so bis heute.

  4.   Einheiten, die Millionen, Milliarden und Billionen Rechenoperationen (von Gleitpunktzahlen) je Sekunde bezeichnen.

  5.   Rede zur Funkausstellung am 12. August 1930 in Berlin

  6.   Der Mathematiker Thom war möglicherweise geschmeichelt, meinte aber, Dalí würde es an wirklichem mathematischem Verständnis mangeln. Wir sehen das gelassen.

  7.   wahrscheinlich um 1817 entstanden. Goethe, Werke Band 11.2, S. 550. Hanser München

  8.   von Maurizio Forte und Alberto Siliotti

  9.   Virtuell oder virtual, vom mittellateinischen virtualis, der Kraft nach vorhanden, aber noch nicht wirklich.

  10.   In Zusammenarbeit mit der Siemens AG, München Kurzversion unter http://www-m2.ma.tum.de/Veroeffentlichungen/.

  11.   Licht ist 300 Millionen mal schneller als der ,,gehende`` Mensch, Computer 10 Billionen mal schneller als der ,,rechnende`` Mensch.

  12.   Kurzversion unter http://www-m2.ma.tum.de/Projekte/Roboter/

  13.   Auto Bild 44/1997. NZZ Folio 2/1998.

  14.   Kurzversion unter http://www-m2.ma.tum.de/~voegel/kfz/.

  15.   Für Schiller eine ,,Idee``.

  16.   siehe z.B. das Pflanzenmodellierprogramm von B.Lintermann und O.Deussen: xfrog (http://www.greenworks.de/)

  17.   Ein freies Randwertproblem mit etwa 70 Differentialgleichungen und weiteren 300 Nebenbedingungen in Form algebraischer und transzendenter Gleichungen. Startgewicht der Sonde 1 1/2 Tonnen, Nutzlast ca. 110 kg.

  18.   Kurzversion demnächst unter http://www-m2.ma.tum.de/~callies/Filme/Filme.html.

  19.   Faust: Vers. 247

  20.   Kurzversion unter http://www-m2.ma.tum.de/~haberj/Sonne/. In Zusammenarbeit mit dem Max-Planck-Institut für Astrophysik, München.


Lehrstuhl für Höhere Mathematik und Numerische Mathematik
erstellt von O. von Stryk am 24. Juli 1998; letzte Änderung am 9. November 1998.