Urodził się 3 stycznia 1929 roku we wsi Rączyna w byłym powiecie jarosławskim, w rodzinie chłopskiej. Jego rodzice, Jan i Kazimiera z Dziukiewiczów, mieli dwuhektarowe gospodarstwo. W 1934 roku rodzina Jana Kukułki przeniosła się do wsi Cieszacin Wielki w tymże powiecie, aby zamienić rozdrobnione dotąd gospodarstwo na scalone o tej samej powierzchni. Tam Józef Kukułka uczył się w szkole powszechnej. Ponieważ w rodzinnej wsi nie miał możliwości ukończenia klasy VII (a był to warunek dalszego kształcenia się), dlatego za radą nauczycieli i zgodą rodziców zdecydował się ostatnie trzy miesiące siódmego roku nauki chodzić pieszo do oddalonej o 8 km szkoły miejskiej w Jarosławiu. W 1942 r. otrzymał upragnione świadectwo ukończenia klasy VII.

W latach 1942-1944 pracował na roli i w lesie, jednocześnie uczęszczał na komplety tajnego nauczania, na których przerobił dwie klasy gimnazjalne. Po wyzwoleniu w 1944 r. rozpoczął normalną naukę w III klasie I Gimnazjum i Liceum Męskiego w Jarosławiu. Tam też otrzymał w 1948 r. świadectwo dojrzałości typu humanistycznego. W tym już okresie przejawiał zainteresowanie historią, językami obcymi i polityką. W ciągu ostatniego roku przed maturą pełnił funkcję sekretarza szkolnego koła ZMW RP "Wici", a maturę ukończył ze znajomością podstaw trzech języków zachodnich.

Wierny ujawnionym zainteresowaniom, w 1948 r. rozpoczął studia na Wydziale Dyplomatyczno-Konsularnym Akademii Nauk Politycznych w Warszawie. Wybór kierunku studiów okazał się na tyle trafny i owocny, że spośród studentów I roku był jedynym, który zdał wszystkie egzaminy w pierwszym terminie. W związku z tym na początku II roku studiów otrzymał propozycję objęcia stanowiska młodszego asystenta. Pracował w Katedrze Historii Powszechnej Najnowszej i specjalizował się w historii dyplomatycznej. Pracę dyplomową poświęcił kwestii podboju Egiptu przez Wielką Brytanię i Francję, zaś w pracy magisterskiej zajął się podbojem Maroka przez Francję. W 1951 r. ukończył I stopień studiów i otrzymał dyplom wykwalifikowanego pracownika służby dyplomatyczno-konsularnej wydany przez Szkołę Główną Służby Zagranicznej, powstałą na miejsce dawnej ANP. W 1953 r. na tejże uczelni ukończył studia II stopnia i otrzymał dyplom magistra w zakresie historii stosunków międzynarodowych. Wkrótce potem mianowany został adiunktem.

W 1954 r. rozpoczął studia aspiranckie w Instytucie Historii PAN, kontynuując jednocześnie pracę w SGSZ w wymiarze 1 /2 etatu adiunkta. W roku akademickim 1955/56 powierzono mu prowadzenie wykładu kursowego z polityki międzynarodowej dla IV roku studiów. Pracę w SGSZ przerwał w 1956 r. w związku z rozpoczętą likwidacją uczelni. Studia aspiranckie ukończył w 1957 r. złożeniem rozprawy kandydackiej pt. Geneza sojuszu polsko-francuskiego 1917-1919. Po obronie tej rozprawy w czerwcu 1958 r. otrzymał stopień kandydata nauk historycznych. Nie mógł jednak znaleźć - ze względów wyraźnie pozanaukowych - zatrudnienia odpowiadającego jego przygotowaniu i dlatego polityka wysunęła się na plan pierwszy w jego życiu.

W 1956 r. zaangażował się bardzo w działalność Związku Młodzieży Wiejskiej. Jako były "wiciarz" i ZMP-owiec, był współzałożycielem nowego Związku, organizatorem jego środowiska studenckiego, pierwszym przewodniczącym Krajowej Rady Studenckiej ZMW (1958-1962) i członkiem Prezydium Zarządu Głównego ZMW w latach 1958-1966. Zaangażowanie to dawało mu okazję do nabywania doświadczenia politycznego, zbliżało go do środowiska studenckiego oraz stanowiło swego rodzaju surogat życia akademickiego, którego brak ciągle odczuwał.

W tym czasie podjął też współpracę z Zakładem Historii Ruchu Ludowego, pełniąc przez pewien czas funkcję zastępcy jego kierownika oraz redaktora "Roczników Dziejów Ruchu Ludowego" (1961-1962). Był to dla niego drugi rodzaj zaangażowania w pracy naukowej w zakresie historii. Pokłosiem tej współpracy było kilka rozpraw i artykułów, które poświęcił dziejom ruchu ludowego i "wiciowego". Poszukiwania pracy badawczej dowodziło też jego uczestnictwo w seminarium naukowym profesora Henryka Jabłońskiego (1960-1962), które stało się bodźcem do podjęcia prac nad rozprawą habilitacyjną.

Znacznie większe możliwości koncentracji uwagi na zagadnieniach stosunków międzynarodowych i na temacie rozprawy habilitacyjnej zaistniały dla niego od października 1962 roku, kiedy rozpoczął pracę w Polskim Instytucie Spraw Międzynarodowych, początkowo na stanowisku adiunkta, a później samodzielnego pracownika naukowo-badawczego. W pierwszych latach zajmował się historią stosunków międzynarodowych, a głównym rezultatem tych wysiłków było opublikowanie wespół z Remigiuszem Bierzankiem trzech tomów dokumentów poświęconych sprawom polskim na paryskiej konferencji pokojowej w 1919 roku. Następnie przeszedł do komórki zajmującej się państwami zachodnimi, gdzie analizował politykę zagraniczną V Republiki oraz zagadnienia Paktu Północnoatlantyckiego. Opublikował wtedy m.in. źródłowy wstęp krytyczny do pełnego wydania polskiego Pamiętników wojennych Charles'a de Gaulle'a. Pracę własną koncentrował wówczas wokół rozprawy habilitacyjnej na temat "Francja a Polska po traktacie wersalskim, 1919-1922" oraz związanych z nią licznych kwerend w archiwach krajowych i zagranicznych. Wygłaszał też wiele odczytów i wykładów na temat współczesnej Francji i NATO, stanowiących dla niego niejako namiastkę zajęć akademickich, a zarazem czyniących zeń eksperta spraw francuskich.

Kiedy wiosną 1967 r. tekst rozprawy został po recenzjach przekazany do wydawnictwa, wyłoniła się konieczność przynajmniej trzyletniego oczekiwania na jej opublikowanie. Dlatego przyjął propozycję wyjazdu do pracy dyplomatycznej w Paryżu. Liczył przy tym na lepsze poznanie kraju, którym zajmował się naukowo, jak również na zebranie nowych materiałów do dalszej pracy naukowej. W Paryżu przebywał od maja 1968 do sierpnia 1972 r., pracując kolejno na stanowiskach I sekretarza i radcy ambasady do spraw politycznych. Okres ten pozwolił mu wejść jeszcze głębiej w problematykę współczesnej Francji, a zarazem zetknięcie się z praktyką służby zagranicznej rozbudziło w nim zainteresowanie problematyką teoretyczną stosunków międzynarodowych.

W czasie pobytu na placówce przygotowywał się do przewodu habilitacyjnego, którego finalizacja nastąpiła po ukazaniu się rozprawy habilitacyjnej pod koniec 1970 r. W marcu 1971 r. zdał kolokwium habilitacyjne na Wydziale Filozoficzno-Historycznym Uniwersytetu Łódzkiego, który nadał mu stopień doktora habilitowanego nauk humanistycznych. Za rozprawę uzyskał w 1971 r. nagrodę PISM I stopnia.

Po zatwierdzeniu stopnia doktora habilitowanego wszczął starania o odwołanie go z placówki oraz o zatrudnienie go na Uniwersytecie Warszawskim. W listopadzie 1972 r. rozpoczął pracę w Instytucie Nauk Politycznych Wydziału Nauk Społecznych UW na stanowisku docenta. W kilka miesięcy później został kierownikiem Zakładu Podstaw Nauk Politycznych. Od lutego 1973 r. do września 1975 r. pełnił funkcję wicedyrektora Instytutu Nauk Politycznych do spraw dydaktycznych, zaś od września 1975 r. do września 1977 r. był prodziekanem Wydziału Dziennikarstwa i Nauk Politycznych UW. Od września 1977 r. do września 1990 r. był dyrektorem Instytutu Stosunków Międzynarodowych tegoż Wydziału, po czym objął kierownictwo Zakładu Historii i Teorii Stosunków Międzynarodowych ISM. W marcu 1994 r. został wybrany przewodniczącym Rady Naukowej ISM. Profesorem nadzwyczajnym nauk politycznych został mianowany w 1977 r., zaś profesorem zwyczajnym nauk humanistycznych w 1986 r.

Jako dydaktyk zwracał zawsze szczególną uwagę na warsztatowe aspekty analiz politologicznych podejmowanych przez autorów prac magisterskich i rozpraw doktorskich. Ten sposób podejścia zaszczepił wypromowanym przez siebie magistrom i doktorom. Dydaktyce poświęcił też znaczną część swej pracy naukowej, w której znaczące miejsce zajmują podręczniki: Problemy teorii stosunków międzynarodowych (1978), Międzynarodowe stosunki polityczne (1982) i Historia współczesna stosunków międzynarodowych (1994), Teoria stosunków międzynarodowych (2000), Wstęp do nauki o stosunkach międzynarodowych (2003). Motywacje dydaktyczne leżały także u podłoża inicjowanych przez niego konferencji naukowych organizowanych przez Instytut Stosunków Międzynarodowych oraz opracowywanych w jego ramach publikacji zbiorowych, z reguły poprzedzanych licznymi dyskusjami seminaryjnymi.

Okres koncentracji wysiłku na pracy uniwersyteckiej nie spowodował zerwania więzi Profesora z praktyką polityczną. W latach 1972-1978 był konsultantem Ministerstwa Spraw Zagranicznych. Związany od 1949 r. z partią chłopską (SL, ZSL, PSL) pełnił różne funkcje w jej ogniwach uczelnianych, międzyuczelnianych, wojewódzkich i krajowych. W latach 1981-1989 jako wiceprezes NK ZSL był z jego ramienia m.in. wiceprzewodniczącym Rady Krajowej PRON (1984-1989), wiceprzewodniczącym Komisji Spraw Zagranicznych Sejmu PRL (1985-1989), sekretarzem Polskiej Grupy Unii Międzyparlamentarnej (1985-1989), wielokrotnym delegatem na światowe konferencje tej organizacji oraz członkiem Rady Unii Międzyparlamentarnej (1986-1989). Uczestnictwo w konferencjach Unii, w wymianie delegacji z partiami chłopskimi, w kongresach tychże partii i organizacji typu frontów narodowych w różnych krajach wykorzystywał dla poszerzania własnej wiedzy o współczesnym świecie i dla wzbogacenia dydaktyki.

Uczestniczył także w życiu naukowym poza macierzystą uczelnią. Inicjował udział przedstawicieli innych uniwersytetów polskich w konferencjach organizowanych przez ISM i sam uczestniczył w konferencjach organizowanych przez poszczególne ośrodki. Kilka kadencji był członkiem Komitetu Nauk Politycznych PAN, w ciągu kilku kadencji był członkiem Rady Naukowej PISM oraz Spółdzielczego Instytutu Badawczego. Za granicą prowadził wykłady z problematyki teoretycznej stosunków międzynarodowych na uniwersytetach Paryż XI, Triest i Hanoi. Był współtwórcą Polskiej Rady Badań Pokoju i jej wiceprzewodniczącym. Na posierpniowej fali 1980 r. współtworzył Klub Inteligencji Ludowej i od początku był jego przewodniczącym. Aktywnie działał w Towarzystwie Przyjaźni Polsko-Francuskiej.

Profesor Kukułka pozostawił żonę Krystynę, która jest profesorem Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Warszawskiego oraz synów Jana i Piotra z Rodziną.

Pogrzeb Profesora Józefa Kukułki odbył się 20 października 2004 roku. Został pochowany na Starym Cmentarzu Służewskim obok kościoła św. Katarzyny. Cześć Jego pamięci!