Petits veinards ! Vous avez droit ici, maintenant, tout de suite, à l'avant première du bouquin qui va faire exploser les ventes de livres en prépa, j'ai nommé le ....... MERDIX !!!!
Pourquoi acheter le MerdiX ou "dix bonnes raisons
de se faire arnaquer" :
Si vous avez répondu OUI à l'une de ces
questions, le MerdiX est fait
pour vous. Sinon, vous êtes cons, mais ce n'est pas une raison pour
ne pas acheter le MerdiX !
Lu dans les rapports de l'X :
Le premier chapitre : systèmes linéaires en
dimension 1 :
Petit rappel de cours pour débuter :
Définition : on appelle système linéaire en dimension 1
toute équation de la forme ax=b, où a et b sont deux réels. On appelle
résoudre le système le fait de trouver l'ensemble des x qui vérifient l'équation.
Cette définition peu claire cache en fait un théorème très
puissant :
Théorème fondamental :
Condition nécessaire d'existence
d'une solution : si a=0 et b non nul, il n'existe pas de solution.
(ce théorème est un résultat dû à Javier Perlin-Pinpin, qui l'a brillamment
démontré en 1995).
Remarquer que le théorème ne donne pas de condition suffisante
d'existence de solution et encore moins la forme de ces solutions. ce
problème est une question ouverte (donc complémentaire d'une question
fermée) à l'heure actuelle qui suscite une grosse controverse dans le
milieu des mathématiciens.
Dans le cas particulier où a=1, on a la conjecture suivante (non
démontrée à l'heure actuelle, bien que C.Peef s'arrache les cheveux
dessus) :
Conjecture de Bairfank :
Si a=1, la solution est unique et l'ensemble des solutions est
E={b}.
Exemples :
Quelques méthodes de résolution :
Méthode 1 : vérifier si l'on est pas dans les
hypothèse du théorème fondamental
beaucoup de candidats sont régulièrement bités à l'X parce
qu'ils oublient de penser à le vérifier.
Méthode 2 : regarder si a n'est pas égal à 1
C'est le second reflexe à avoir : si a=1, on peut
appliquer la conjecture de Bairfank, et, au prix de quelques efforts
sur le stylo ou la craie, on arrive à trouver une solution.
Méthode 3 : vérifier si a n'est pas égal à -1
On a alors en effet une astuce imparable qui consiste à
tout multiplier par -1 et à se ramener à la conjecture de Fairbank
(cette astuce est INTROUVABLE : apprenez-la par coeur !).
Là on en arrive à des méthodes vraiment très astucieuses mais qui ne
permettent pas de trouver des solutions de façon certaine.
Méthode 4 : méthode topologique :
S'il existe une suite d'élements
tous égaux à 1 qui converge vers a, on peut alors prendre la suite des
solutions donnée par la conjecture de Bairfank : sa limite est alors
solution du système. Cette méthode est imparable sur le papier mais
peu d'exos l'utilisent (ce qui est dommage car c'est joli la
topologie...d'ailleurs ça rime !).
Méthode 5 : 2ème méthode topologique
idem méthode 4 mais on prend une suite d'éléments égaux à -1
et on combine avec la méthode 3.
Méthode 6 : méthode transcendante (à ne pas
confondre avec les méthodes transcendentales, beaucoup plus fumeuses,
celles-là)
On se plonge dans le corps des complexes et on essaye
d'utiliser une des méthodes précédentes.
Méthode 7 : méthode aléatoire dite du
"pifomètre"
On essaye quelques x au hasard en espérant tomber sur une
solution (un miracle arrive toujours).
Méthode 8 : méthode d'équivalence
C'est une méthode très fine : elle consiste à dire que, si
a et b sont non nuls , on a une équation équivalente en remplaçant a
par 1/b et b par 1/a. On peut alors essayer d'appliquer n'importe
laquelle des méthodes précédentes.
Méthode 9 : première méthode matricielle
Remarquer que a est symétrique réelle et utiliser le
théorème spectral pour la diagonaliser dans une base orthonormée de
R. Vérifier alors si on ne peut pas utiliser l'une des méthodes
précédentes. Attention, les colleurs de l'X n'acceptent cette méthode
que si le collé est en mesure de redémontrer le théorème spectral.
Méthode 10 : seconde méthode matricielle
Inverser a par la méthode des cofacteurs. Utiliser alors la
méthode 8. Attention, cette
méthode ne marche pas si a=0.
Méthode 11 : appliquer les formules de Cramer
Prenez garde : cette méthode est très mal vue aux oraux des
concours car c'est un résultat hors programme qui simplifie trop les problèmes.
Méthode 12 : méthode polynômiale
Remarquer que l'équation est équivalente à P(x)=0 où P est
un polynôme de degré 1. Il ne reste plus qu'à en chercher les racines.
Méthode 13 : méthode dite de l'exhaustivité
Pour tous les réels a, b et x, calculer ax-b et en déduire
toutes les solutions possibles de toutes les équations. Cette méthode
est généralement jugée un peu bourinne par les examinateurs de l'X :
à utiliser avec discernement...
Méthode 14 : méthode par les séries entières
Remarquer que ax est le terme d'ordre 1 du développement de
exp(ax)-1, et que b est le terme d'ordre 0 du développement de
b.sin(x)/x, et se ramener à un problème de séries entières. (Méthode
dûe à J. Cazorla). C'est très bien vu par les colleurs, d'autant plus
que ça montre qu'on fait bien la synthèse du programmme de l'année...
Méthode 15 : méthode physicienne
Remarquer que a~1 (en première approximation), et en
déduire que l'ensemble des solutions n'est pas loin d'être peu
différent d'une approximation de {b} (d'après la méthode 2)...
N.B: A n'utiliser qu'en dernier recours.
Méthode 16 : méthode combinatoire
Tenter une combinaison linéaire
des méthodes précedentes.
Méthode 17 : il n'y a pas 17 méthodes
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HT avec sa couverture violette gerbatoire de fort bon goût), envoyez-moi
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