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Equations de Maxwell et équations de Yang-Mills

      Les équations de Maxwell décrivent la physique de l'electromagnétisme. Nous avons vu comment écrire la moitié de ces équations, en l'occurence, les équations ``sans terme de source'', d F = 0, qui résultent directement de la définition F = dA du champ electromagnétique F en terme du potentiel electromagnétique A. Ces équations, qui sont en quelque sorte des équations structurelles, n'utilisent pas la notion de métrique. A ce propos, si on souhaite écrire explicitement ces équations ``avec des indices'', dans un repère naturel, on obtiendra indifféremment

displaymath24064

en effet, les coefficients de la connexion linéaire se compensent dans la seconde équation, ce qui est a priori bien évident, du fait de la définition de F en termes de A, laquelle ne fait aucunement appel à la notion de connexion linéaire. De la même façon, dans un repère naturel,

displaymath24070

Attention, dans un repère mobile tex2html_wrap_inline24072 , les valeurs de tex2html_wrap_inline24074 ne sont pas nulles puisque les fonctions de structure du repère ne sont pas nulles (voir section 1.6.3): les coefficients de la connexion linéaire se compensent comme auparavant, mais il faut tenir compte des fonctions de structure du repère (cela n'a rien à voir avec l'existence, ou non, d'un champ gravitationnel décrit par la métrique g). Puisque tex2html_wrap_inline24078 , on obtient

displaymath24080

Les charges electriques, quant à elles, sont les ``sources'' du champ et ces charges sont décrites par une 1-forme tex2html_wrap_inline24084 (le ``vecteur courant''). Le couplage entre champ et charges doit être tel que toutes les équations de Maxwell soient vérifiées. En dimension 4 = 3+1 (physique de l'Espace-Temps) le dual de Hodge de J est une 3-forme et les équations de Maxwell ``avec sources'' s'écrivent

displaymath24092

Ici, par contre, la métrique intervient explicitement (via l'opération tex2html_wrap_inline24094 ). De manière explicite, ces équations s'écrivent

displaymath24096

Notons qu'à l'aide de la codifférentielle tex2html_wrap_inline24098 , les équations de Maxwell avec sources tex2html_wrap_inline24100 s'écrivent simplement tex2html_wrap_inline24102 .

Le lecteur pourra bien entendu écrire les deux équations ``quadridimensionelles'' à l'aide des composantes tex2html_wrap_inline24104 et tex2html_wrap_inline24106 de F (les champs électriques et magnétiques) et à l'aide des composantes tex2html_wrap_inline24110 (la charge) et tex2html_wrap_inline24112 (le courant electrique tridimensionnel) de J et redécouvrir ainsi les quatre équations de Maxwell habituelles. On rappelle que

displaymath24116

  En ce qui concerne les théories de jauge non abéliennes (par exemple la chromodynamique décrivant les interactions fortes élementaires entre quarks), le potentiel de jauge A et la courbure F sont maintenant des formes à valeurs matricielles (l'algèbre de Lie de SU(3) dans le cas de la chromodynamique). Il en est de même du vecteur courant J. Les équations de Yang-Mills ``sans sources'' s'écrivent

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Ce sont donc simplement les identités de Bianchi. Dans un repère naturel, et en utilisant des indices, notons que

eqnarray5885

et donc

displaymath24128

avec

displaymath24130

Les équations de Yang-Mills ``avec sources'' s'écrivent

displaymath24132

c'est à dire encore, si on utilise les indices,

displaymath24134

Notons que, même lorsque J = 0, c'est à dire dans ``le vide'', l'ensemble des équations de Yang-Mills D F=0 et tex2html_wrap_inline24140 constitue un système d'équations différentielles hautement non trivial dont la discussion générale sort du cadre de cet ouvrage.


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Robert Coquereaux
Thu Jun 20 15:52:24 MEST 2002