en effet, les coefficients de la connexion linéaire se compensent dans la seconde équation, ce qui est a priori bien évident, du fait de la définition de F en termes de A, laquelle ne fait aucunement appel à la notion de connexion linéaire. De la même façon, dans un repère naturel,
Attention, dans un repère mobile , les valeurs de ne sont pas nulles puisque les fonctions de structure du repère ne sont pas nulles (voir section 1.6.3): les coefficients de la connexion linéaire se compensent comme auparavant, mais il faut tenir compte des fonctions de structure du repère (cela n'a rien à voir avec l'existence, ou non, d'un champ gravitationnel décrit par la métrique g). Puisque , on obtient
Les charges electriques, quant à elles, sont les ``sources'' du champ et ces charges sont décrites par une 1-forme (le ``vecteur courant''). Le couplage entre champ et charges doit être tel que toutes les équations de Maxwell soient vérifiées. En dimension 4 = 3+1 (physique de l'Espace-Temps) le dual de Hodge de J est une 3-forme et les équations de Maxwell ``avec sources'' s'écrivent
Ici, par contre, la métrique intervient explicitement (via l'opération ). De manière explicite, ces équations s'écrivent
Notons qu'à l'aide de la codifférentielle , les équations de Maxwell avec sources s'écrivent simplement .
Le lecteur pourra bien entendu écrire les deux équations ``quadridimensionelles'' à l'aide des composantes et de F (les champs électriques et magnétiques) et à l'aide des composantes (la charge) et (le courant electrique tridimensionnel) de J et redécouvrir ainsi les quatre équations de Maxwell habituelles. On rappelle que
En ce qui concerne les théories de jauge non abéliennes (par exemple la chromodynamique décrivant les interactions fortes élementaires entre quarks), le potentiel de jauge A et la courbure F sont maintenant des formes à valeurs matricielles (l'algèbre de Lie de SU(3) dans le cas de la chromodynamique). Il en est de même du vecteur courant J. Les équations de Yang-Mills ``sans sources'' s'écrivent
Ce sont donc simplement les identités de Bianchi. Dans un repère naturel, et en utilisant des indices, notons que
et donc
avec
Les équations de Yang-Mills ``avec sources'' s'écrivent
c'est à dire encore, si on utilise les indices,
Notons que, même lorsque J = 0, c'est à dire dans ``le vide'', l'ensemble des équations de Yang-Mills D F=0 et constitue un système d'équations différentielles hautement non trivial dont la discussion générale sort du cadre de cet ouvrage.