Tenzor

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. $T_{kl \cdots n}$.

Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel $T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}$ (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic $x_i^\prime = \sum_j a_{ij} x_j$ transformují následujícím způsobem:

$T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}^\prime = \sum_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}} a_{{i_1}{k_1}} a_{{i_2}{k_2}} \cdots a_{{i_n}{k_n}} T_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}}$

Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu.

Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.

Máme-li např. dva vektory $\mathbf{A}, \mathbf{B}$, můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem $T_{ij} = A_i B_j$. Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.

$T_{kl}^\prime = A_k^\prime B_l^\prime = (\sum_i a_{ki} A_i)(\sum_j a_{lj} B_j) = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} A_i B_j = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} T_{ij}$

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry a tenzory prvního řádu, tedy vektory.