Большая полуось

Большая полуось — это один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения.

Эллипс

Основные параметры эллипса

Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр — отрезок проходящий через центр и два фокуса. Большая полуось составляет половину этого расстояния и идёт от центра эллипса через фокус к его краю.

Под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — минимальное расстояние от центра эллипса до его края. У частного случая эллипса — круга — большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом, можно рассматривать большую и малую полуоси как некоего рода радиусы эллипса.

Длина большой полуоси $a\,\!$ связана с длиной малой полуоси $b\,\!$ через эксцентриситет $e\,\!$, фокальный параметр $p\,\!$ и фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами) $~\boldsymbol c$ следующим образом:

$b = a \sqrt{1-e^2},\,$

$p = a(1-e^2),\,$

$ap=b^2.\,$

$~a^2 = b^2 + c^2$

Большая полуось представляет собой среднее арифметическое между расстояниями от любой точки эллипса до его фокусов.

Рассмотрев уравнение в полярных координатах, с точкой в начале координат (полюс) и лучом, начинающейся из этой точки (полярная ось):

$r(1-e\cos\theta) = p\,$

Получим средние значения $r={p\over{1+e}}\,\!$ и $r={p\over{1-e}}\,\!$ и большую полуось $a={p\over 1-e^2}.\,$

Парабола

График построения параболы простейшей функции y = x²

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остаётся постоянным, а другой отодвигается в бесконечность, сохраняя $p\,\!$ постоянным. Таким образом $a\,\!$ и $b\,\!$ стремятся к бесконечности, причём $a\,\!$ быстрее, чем $b\,\!$.

Гипербола

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси $x\,\!$ (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1.$

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

$a={p \over e^2-1 }$.

Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.

Астрономия

Орбитальный период

В небесной механике орбитальный период $T\,\!$ обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{a^3 \over \mu}$

где:

$a\,\!$ — это размер большой полуоси орбиты

$\mu$ — это стандартный гравитационный параметр

Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела.

Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$

где:

$T\,\!$ — орбитальный период в годах;

$a\,\!$ — большая полуось в астрономических единицах.

Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:

$T^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3\,$

где:

$G\,\!$ — гравитационная постоянная

$M\,\!$ — масса центрального тела

$m\,\!$ — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.

Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля—Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет 384 400 км, в то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля—Луна составляет 379 700 км — из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а на расстоянии 4700 км от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли — 0,012 км/с. Сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; то же самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения — в зависимости от величины, по которой производят усреднение:

• усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.
• усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.
• усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:

$a \left(1 + \frac{e^2}{2}\right).\,$

• усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:

$\sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^2}.\,$

Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния

В небесной механике большая полуось $a\,\!$ может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:

$a = { - \mu \over {2\varepsilon}}\,$

для эллиптических орбит

$a = {\mu \over {2\varepsilon}}\,$

для гиперболической траектории

и

$\varepsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |}$

(en:specific orbital energy)

и

$\mu = G(M+m ) \,$

(стандартный гравитационный параметр), где:

$v\,\!$ — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости,

$r\,\!$ — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца),

$G\,\!$ — гравитационная постоянная,

$M\,\!$ и $m\,\!$ — массы тел.

Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.

См. также

• Элементы орбиты
• Кеплеровы элементы орбиты
• Эксцентриситет
• Апоцентр и перицентр

Ссылки

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation