Кинематика точки

Кинема́тика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Так как всякое движение понятие относительное и имеет содержание только при указании относительно каких именно тел перемещается рассматриваемый объект, то движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

• тело отсчета;
• систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);
• прибор для измерения времени (часы).

Положение точки определяется набором обобщенных координат — упорядоченным набором числовых величин, полностью описывающих положение тела. В самом простом случае это координаты точки (радиус-вектора) в выбранной системе координат. Наиболее наглядное представление о радиус-векторе можно получить в евклидовой системе координат, поскольку базис в ней является фиксированным и общим для любого положения тела.

Кинематика поступательного движения

Основные кинематические понятия

Материальная точка  — тело, размерами которого по сравнению с характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь. Так Землю можно считать Материальной Точкой (М. Т.) при изучении её движения вокруг Солнца, пулю можно считать М. Т. при её движении в поле тяжести Земли, но нельзя считать таковой при учете её вращательного движения в стволе винтовки. При поступательном движении в ряде случаев при помощи понятия М. Т. можно описывать и изменение положения более крупных объектов. Так, например, тепловоз, проходящий расстояние 1 метр, может считаться М. Т., поскольку его ориентация относительно системы координат в процессе движения является фиксированной и не влияет на постановку и ход решения задачи.

Радиус-вектор — вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве: $\vec r = \{ r_1,r_2,...,r_n \}$. Здесь $r_1,r_2,...,r_n$ — координаты радиус-вектора. Геометрически изображается вектором, проведенным из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора (или его координат $r_i = r_i(t)$) от времени $\vec r = \vec r (t)$ называется законом движения.

Траектория — Годограф радиус-вектора, то есть — воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется материальная точка. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием, длиной пути или вульгарно — путем и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде S = S(t) и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде:

$S=S_0+v_{S_0} t+ \frac {a_S t^2}{2}$,

Где : $v_{S_0} =|\vec v_0|$ — модуль начальной скорости, а $a_S = a_{\tau}$ — Тангенциальное ускорение.

Описание движения при помощи понятия траектории — один из ключевых моментов классической механики . В квантовой механике движения носит бестраекторный характер, а значит само понятие траектория теряет смысл.

Основные кинематические величины

Радиус-векторы и вектор перемещения (черные стрелки). Векторы средней и мгновенных скоростей (Зеленые стрелки). Траектория (красная линия)

Разложение ускорения по сопутствующему базису

Перемещение — векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени:

$\Delta \vec r(t_2,t_1) = \vec r(t_2) - \vec r(t_1)$.

Иными словами, перемещение — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.

Средняя скорость — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:

$\vec v_{cp}(t_1,t_2) = \frac{\Delta \vec r}{\Delta t} = \frac{\vec r(t_2) - \vec r(t_1)}{t_2-t_1}$.

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:

$\vec v(t) = \frac{d \vec r(t)}{dt}$.

Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется:

$\vec v(t_1) = \lim_{t_2 \rightarrow t_1} \vec v_{cp}(t_1,t_2) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r(t)}{\Delta t}$.

Единица измерения скорости в системе СИ— м/с, в системе СГС — см/с. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:

$\vec a (t) = \frac{d \vec v(t)}{dt} = \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2}$.

Характеризует быстроту изменения скорости. Единица ускорения в системе СИ— м/с², в системе СГС — см/с². В случае движения в плоскости вектор ускорения можно разложить по сопутствующему базису: на вектор нормального и тангенциального ускорения:

$\vec a (t) = a _n(t) \vec{n}+a_{\tau}(t) \vec{\tau}$.

Здесь $\vec{n}$ — единичный вектор нормали, $\vec{\tau}$ — единичный вектор касательной. Величина $a _n$ называется нормальным ускорением и характеризует скорость изменения направления движения. Нормальное ускорение выражается через мгновенную скорость и радиус кривизны траектории:

$a_n (t) = \frac {v(t)^2} {R}$.

В случае движения по окружности нормальное ускорение называется центростремительным. Как видно из предыдущей формулы, при движении по окружности с постоянной скоростью нормальное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Величина $a _\tau$ называется тангенциальным ускорением и характеризует величину изменения модуля скорости:

$a_\tau = \frac{d|v|}{dt}$.

Преобразования Галилея

Если ИСО S' движется относительно ИСО S с постоянной скоростью  вдоль оси , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

$x' = x - ut,$

$y' = y,$

$z' = z,$

$t' = t$

или, используя векторные обозначения,

$\vec {r'} = \vec r - \vec u t ,$

$t' = t$

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

Примеры законов движения, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка

Закон равноускоренного движения

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли

Закон равноускоренного движения получается в результате решения простейшего дифференциального уравнения вида:

$\frac {d^2x}{dt^2} = A$

Общее решение этого уравнения дается формулой:

$x(t) = C_1+ C_2t + \frac {A t^2}{2}$ ;

Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы, соответствующие начальной координате и начальной скорости.

Движение с постоянным ускорением $\vec a (t) = const$ называют равноускоренным. Движение с постоянным ускорением подчиняется закону:

$\vec r(t) = \vec r_0(t)+ \vec{v_0}t + \frac {\vec a t^2}{2}$ ;

$\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a t$ .

При этом уравнения движения в координатной форме имеют аналогичный вид:

$x(t) = x_0(t)+ {v_{x_0}}t + \frac {a_x t^2}{2}$ ;

$v_x(t) = v_{x_0} + a_x t$ .

В этом случае часто говорят о равноускоренном движении, если знаки $a_x$ и $v_x(t)$ совпадают и о равнозамедленном, если $a_x$ и $v_x(t)$ имеют противоположные знаки. При этом знак каждой из величин зависит от начального выбора системы отсчета.

Частный случай равноускоренного движения — равномерное движение. В этом случае $\vec a (t) = 0$. Тогда движение описывается закону:

$\vec r(t) = \vec r_0(t)+ \vec{v_0}t$

См. также

• Кинематика (физика)
• Кинематика твёрдого тела

Литература

1. Стрелков С. П. Механика. М.: Наука, 1975.
2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.
3. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.
4. Хайкин С. Э. Физические основы механики. М.: Наука, 1971.