Plancksches Strahlungsgesetz

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Eine Glühwendel leuchtet bei ca. 700 °C rot, orange bis gelb bei 2500 °C.

Das Plancksche Strahlungsgesetz gibt die Verteilung der elektromagnetischen Energie der thermischen Strahlung eines schwarzen Körpers in Abhängigkeit von der Wellenlänge oder der Frequenz der Strahlung an.

Max Planck fand das Strahlungsgesetz im Jahr 1900 und bemerkte, dass eine Herleitung im Rahmen der klassischen Physik nicht möglich ist. Vielmehr erwies es sich als notwendig, ein neues Postulat einzuführen, dem zufolge der Energieaustausch zwischen Oszillatoren und dem elektromagnetischen Feld nicht kontinuierlich, sondern in Form kleinster Energiepakete (später als Quanten bezeichnet) stattfindet. Plancks Herleitung des Strahlungsgesetzes gilt daher heute als die Geburtsstunde der Quantenphysik.

Grundlagen und Bedeutung

Nach dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz sind für jeden Körper für jede Wellenlänge das Absorptionsvermögen und das Emissionsvermögen für thermische Strahlung proportional zueinander. Ein Schwarzer Körper ist ein hypothetischer Körper, der auf ihn treffende Strahlung jeglicher Wellenlänge und Intensität vollständig absorbiert. Da sein Absorptionsvermögen für jede Wellenlänge den größtmöglichen Wert annimmt, nimmt auch sein Emissionsvermögen für alle Wellenlängen den maximal möglichen Wert an. Ein realer Körper kann auf keiner Wellenlänge mehr thermische Strahlung aussenden als ein Schwarzer Körper, der daher eine ideale thermische Strahlungsquelle darstellt. Da das Spektrum des Schwarzen Körpers außerdem von keinem anderen Parameter als der Temperatur abhängt, insbesondere nicht von Materialeigenschaften, stellt er eine für zahlreiche Zwecke nützliche Referenzquelle dar.

Neben der erheblichen praktischen Bedeutung des Schwarzen Körpers gilt die Entdeckung des planckschen Strahlungsgesetzes im Jahre 1900 gleichzeitig als Geburtsstunde der Quantenphysik, da Planck zur Erklärung der zunächst empirisch gefundenen Formel annehmen musste, dass Licht (bzw. elektromagnetische Strahlung im Allgemeinen) nicht kontinuierlich, sondern nur diskret in Quanten (heute spricht man von Photonen) aufgenommen und abgegeben wird.

Weiterhin vereinigte und bestätigte das plancksche Strahlungsgesetz Gesetzmäßigkeiten, die schon vor seiner Entdeckung teils empirisch, teils aufgrund thermodynamischer Überlegungen gefunden worden waren:

• das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das die abgestrahlte Leistung eines Schwarzen Körpers (proportional zu T⁴) angibt.
• das Rayleigh-Jeans-Gesetz, das die spektrale Energieverteilung für lange Wellenlängen beschreibt.
• das Wiensche Strahlungsgesetz, das die spektrale Energieverteilung für kurze Wellenlängen wiedergibt.
• das Wiensche Verschiebungsgesetz, das Wilhelm Wien (1864–1928) 1893 formulierte, und das den Zusammenhang zwischen Emissionsmaximum eines Schwarzen Körpers und seiner Temperatur herstellt.

Herleitung und Historie

Man betrachte als vereinfachtes Beispiel einen würfelförmigen Hohlraum der Seitenlänge L und des Volumens V, der elektromagnetische Hohlraumstrahlung im thermischen Gleichgewicht enthält. Im Gleichgewicht können sich nur stehende Wellen ausbilden; die erlaubten Wellen können in beliebige Richtungen laufen, müssen dabei jedoch die Bedingung erfüllen, dass zwischen zwei gegenüberliegende Hohlraumflächen jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen passt. Das hat folgenden Grund: Da die elektromagnetischen Wellen innerhalb der Wände des Hohlraums nicht existieren können, ist dort die elektrische und magnetische Feldstärke null. Damit müssen sich die Knotenpunkte der Wellen an den Oberflächen der Innenwände befinden. Es sind also nur bestimmte diskrete Schwingungszustände erlaubt; die gesamte Hohlraumstrahlung setzt sich aus diesen stehenden Wellen zusammen.

Die Zustandsdichte

Die Anzahl erlaubter Schwingungszustände nimmt bei höheren Frequenzen zu, weil es für Wellen mit geringerer Wellenlänge mehr Möglichkeiten gibt, sich so in den Hohlraum einzupassen, dass die Ganzzahligkeitsbedingungen für ihre Komponenten in x-, y- und z-Richtung erfüllt sind. Die Anzahl dieser erlaubten Schwingungszustände im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν und pro Volumeneinheit heißt Zustandsdichte $g(\nu) \, \mathrm{d}\nu$ und errechnet sich zu

$g(\nu) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi}{c^3} \, \nu^2 \, \mathrm{d}\nu$.

Die Ultraviolett-Katastrophe

Nun fasst man jeden dieser Schwingungszustände je Frequenzintervall als harmonischen Oszillator der Frequenz ν auf. Wenn alle Oszillatoren im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T schwingen, dann wäre nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik zu erwarten, dass jeder dieser Oszillatoren im Mittel die kinetische Energie kT/2 und die potentielle Energie kT/2, also insgesamt die Energie kT trägt. Die Energiedichte der Hohlraumstrahlung im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν wäre demnach das Produkt der Zustandsdichte der erlaubten Schwingungszustände $g(\nu) \, \mathrm{d}\nu$ und der mittleren Energie je klassischem Schwingungszustand kT, also

$U_{\nu}^{RJ}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi}{c^3} \, kT \, \nu^2 \, \mathrm{d}\nu$.

Dies ist das Strahlungsgesetz nach Rayleigh-Jeans. Es gibt die tatsächlich gemessene Energiedichte bei niedrigen Frequenzen gut wieder, sagt aber fälschlich eine mit höheren Frequenzen stets quadratisch wachsende Energiedichte voraus, sodass der Hohlraum über alle Frequenzen integriert eine unendliche Energie enthalten müsste (Ultraviolett-Katastrophe). Das Problem ist: Jeder vorhandene Schwingungszustand trägt zwar im Mittel nur die Energie kT, aber es sind nach klassischer Betrachtung unendlich viele solcher Schwingungszustände angeregt, was jedoch (aufgrund der Quantisierung) nicht zutrifft und daher auch nur fälschlicherweise zu unendlicher Energiedichte im Hohlraum führt.

Die empirische Lösung

Planck stützte sich bei seiner Herleitung des Strahlungsgesetzes nicht auf den rayleighschen Ansatz, vielmehr ging er von der Entropie aus und fügte in die Gleichungen probeweise verschiedene Zusatzterme ein, die nach den damaligen Physikkenntnissen zwar unverständlich waren – ihnen aber auch nicht widersprachen. Besonders einfach war ein Zusatzterm, der zu einer Formel führte, die die schon gemessenen Spektralkurven sehr gut beschrieb (1900). Damit blieb diese Formel reine Empirie – aber sie beschrieb die bekannten experimentellen Messungen über das gesamte Frequenzspektrum korrekt. Planck gab sich damit aber nicht zufrieden. Es gelang ihm, die Strahlungskonstanten C und c aus der wienschen Formel durch Naturkonstanten zu ersetzen, nur ein Faktor h („hilf“) blieb übrig.

Die Quantenhypothese

Ausgehend von der verbesserten empirischen Strahlungsformel kam Planck innerhalb weniger Monate zu einem epochemachenden Ergebnis, es war die Geburtsstunde der Quantenphysik: Er musste sich selbst gegen seine eigene Überzeugung eingestehen, dass die Energieabgabe nicht kontinuierlich erfolgt, sondern nur in Vielfachen von kleinsten „h“-Einheiten, die ihm zu Ehren dann später als plancksches Wirkungsquantum bezeichnet wurde. Nach dieser von Planck eingeführten Quantenhypothese kann ein Oszillator der Frequenz ν anstelle beliebiger Energiemengen nur ganzzahlige Vielfache der Energie hν aufnehmen; insbesondere bedarf er einer Mindestenergie hν, um überhaupt angeregt zu werden. Schwingungszustände, deren Mindestenergie hν deutlich über der thermisch zur Verfügung gestellten Energie kT liegen, können nicht angeregt werden, sie bleiben eingefroren. Jene Schwingungszustände, deren Mindestenergie nur wenig über kT liegt, können mit gewisser Wahrscheinlichkeit angeregt werden, so dass von ihnen ein bestimmter Bruchteil zur gesamten Hohlraumstrahlung beiträgt. Lediglich Schwingungszustände mit niedriger Mindestenergie hν, also kleineren Frequenzen, können die angebotene thermische Energie vollständig aufnehmen und werden (im Mittel) mit Sicherheit angeregt.

Quantisierte Schwingungszustände

Die statistische Thermodynamik zeigt, dass durch Anwendung von Quantenhypothese und Bose-Einstein-Statistik ein Schwingungszustand der Frequenz ν im Mittel folgende Energie trägt:

$E (\nu, T) \, =\frac{h\nu}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$

Nach geometrischen Kriterien könnten höherfrequente elektromagnetische Schwingungszustände durchaus im Hohlraum existieren. Der obige Zusammenhang besagt nun aber, dass diese Schwingungszustände durch die zur Verfügung stehende Energie nicht angeregt werden können, weil deren Anregungsschwelle zu hoch liegt. Diese Zustände tragen somit nicht zur Energiedichte im Hohlraum bei.

Das Strahlungsgesetz

Das Produkt der Zustandsdichte $g(\nu) \, \mathrm{d}\nu$ der erlaubten Schwingungszustände und der mittleren Energie $E (\nu, T) \,$ je quantisiertem Schwingungszustand ergibt dann bereits die Plancksche Energiedichte

$U^o_{\nu}(\nu, T) \, = \, \frac{8 \pi h \nu^{3}}{c^3} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \,$.

Weil die mittlere Energie bei hohen Frequenzen stärker abnimmt als die Zustandsdichte anwächst, nimmt die spektrale Energiedichte – als deren Produkt – zu höheren Frequenzen hin wieder ab – nachdem sie ein Maximum durchlaufen hat – und die Gesamtenergiedichte bleibt endlich. So erklärte Planck mittels seiner Quantenthese, warum die von der klassischen Thermodynamik vorausgesagte Ultraviolett-Katastrophe in Wirklichkeit nicht stattfindet.

Bedeutung

Plancksche Strahlungsspektren für verschiedene Temperaturen

Plancksche Strahlungsspektren für verschiedene Temperaturen in doppeltlogarithmischer Auftragung

Das erste nebenstehende Bild zeigt plancksche Strahlungsspektren eines Schwarzstrahlers für verschiedene Temperaturen zwischen 300 K und 1000 K in linearer Darstellung. Man erkennt die typische Form mit einem deutlich ausgeprägten Strahlungsmaximum, einem steilen Abfall zu kurzen Wellenlängen hin und einem länger auslaufenden Abfall zu großen Wellenlängen hin. Die Lage des Strahlungsmaximums verschiebt sich, wie es das Wiensche Verschiebungsgesetz verlangt, mit zunehmender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen. Gleichzeitig nimmt gemäß dem Stefan-Boltzmann-Gesetz die gesamte spezifische Ausstrahlung (Strahlungsleistung P der Fläche A) mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur T zu:

$P = \sigma A T^4$

mit $\sigma$ - Stefan-Boltzmann-Konstante:

$\sigma \approx 5{,}67 \cdot 10^{-8} \mathrm{\frac{W}{m^2 K^4}}$

Dieses überproportionale Anwachsen der Strahlungsintensität mit steigender Temperatur erklärt die mit steigender Temperatur zunehmende Bedeutung der Wärmeabstrahlung gegenüber der über Konvektion abgegebenen Wärme. Gleichzeitig macht es dieser Zusammenhang schwierig, Strahlungskurven über einen größeren Temperaturbereich in einem Diagramm darzustellen.

Das zweite Bild verwendet daher für beide Achsen eine logarithmische Unterteilung. Dargestellt sind hier Spektren für Temperaturen zwischen 100 K und 10.000 K.

Rot hervorgehoben ist die Kurve für 300 K, was typischen Umgebungstemperaturen entspricht. Das Maximum dieser Kurve liegt bei 10 μm; im Bereich um diese Wellenlänge, dem Mittleren Infrarot (MIR), findet also der Strahlungsaustausch von Objekten auf Raumtemperatur statt. Infrarotthermometer für niedrige Temperaturen und Thermografiekameras arbeiten in diesem Bereich.

Die Kurve für 3000 K entspricht dem typischen Strahlungsspektrum einer Glühlampe. Nun wird bereits ein Teil der emittierten Strahlung im schematisch angedeuteten sichtbaren Spektralbereich abgegeben. Das Strahlungsmaximum liegt jedoch noch im Nahen Infrarot (NIR).

Gelb hervorgehoben ist die Kurve für 5777 K, die Effektivtemperatur der Sonne. Ihr Strahlungsmaximum liegt mitten im sichtbaren Spektralbereich. Die von der Sonne thermisch ausgestrahlte UV-Strahlung wird glücklicherweise zum größten Teil von der Ozonschicht der Erdatmosphäre ausgefiltert.

Das Plancksche Strahlungsgesetz wird in verschiedenen Formelvarianten dargestellt, die Größen für Intensitäten, Flussdichten und Spektralverteilungen verwenden, welche für die betrachteten Sachverhalte zweckmäßig sind. Alle Formen der unterschiedlichen Strahlungsgrößen sind lediglich unterschiedliche Formen des einen Gesetzes.

Häufig gebrauchte Formeln und Einheiten

Für die mathematische Darstellung des Gesetzes existieren zahlreiche verschiedene Varianten, je nachdem ob das Gesetz in Abhängigkeit von der Frequenz oder der Wellenlänge formuliert werden soll, ob die Intensität der Strahlung in eine bestimmte Richtung oder die Abstrahlung in den gesamten Halbraum betrachtet werden soll, ob Strahlgrößen, Energiedichten oder Photonenzahlen beschrieben werden sollen.

Häufig gebraucht wird die Formel für die spektrale spezifische Ausstrahlung $M^o_\nu(\nu, T)$ eines Schwarzen Körpers der absoluten Temperatur $T$. Für sie gilt

in der Frequenzdarstellung:

$M^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, = \frac{2\pi h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$

SI-Einheit von $M^o_{\nu}(\nu, T)$: W·m−2·Hz−1

und in der Wellenlängendarstellung:

$M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda$

SI-Einheit von $M^o_{\lambda}(\lambda, T)$: W·m−2·m−1.

$M^o_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$ ist die Strahlungsleistung, die vom Flächenelement $\mathrm{d}A$ im Frequenzbereich zwischen $\nu$ und $\nu+\mathrm{d}\nu$ in den gesamten Halbraum abgestrahlt wird. Weiter sind $h$ das Plancksche Wirkungsquantum, $c$ die Lichtgeschwindigkeit und $k$ die Boltzmannkonstante.

Bei der Umrechnung zwischen Frequenz- und Wellenlängendarstellung ist zu beachten, dass wegen

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

gilt

$|\mathrm{d}\lambda| = \frac{c}{\nu^2} |\mathrm{d}\nu| \quad \text{und} \quad |\mathrm{d}\nu| = \frac{c}{\lambda^2} |\mathrm{d}\lambda|$.

Mit Hilfe der beiden Strahlungskonstanten $c_1 = 2\pi h c^2\,$ und $c_2 = \tfrac{hc}{k}$ lässt sich die spektrale spezifische Ausstrahlung auch schreiben in der Form:

$M^o_{\lambda}(\lambda, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, = \frac{c_1}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda$

Siehe auch

• Grauer Körper
• Glut (Lichtausstrahlung)
• Strahlungsaustausch
• Zur historischen Entwicklung siehe auch: Max Planck

Literatur

• Hans Dieter Baehr, Karl Stephan: Wärme- und Stoffübertragung. 4. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-40130-X (Kap. 5: Wärmestrahlung).
• Dieter Hoffmann: Schwarze Körper im Labor. Experimentelle Vorleistungen für Plancks Quantenhypothese. In: Physikalische Blätter. 56, Nr. 12, 2000, S. 43–48, doi:10.1002/phbl.20000561215.

Weblinks

 Wikibooks: Formelsammlung plancksches Strahlungsgesetz – Lern- und Lehrmaterialien

• Plancks Strahlungsformel
• Zur Geschichte der Entdeckung der Strahlungsgesetze
• Ableitung der Planckschen Strahlungsformel nach Einstein. (Universität Ulm)