Супернатуральные числа

Супернатуральные числа (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число $\omega$ является формальным произведением:

\omega = \prod_p p^{n_p},

где $p$ может быть любым простым числом, а каждое $n_p$ является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут $v_p(\omega)$ для обозначения $n_p$ . Если не выполняется условие $n_p = \infty$ и имеется только конечное число ненулевых $n_p$ , тогда мы получаем полностью натуральный ряд чисел. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют делить любое данное простое число $\omega$ «бесконечно много», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного пути определить сложение для супернатуральных чисел, но они могут быть перемножены $\prod_p p^{n_p}\cdot\prod_p p^{m_p}=\prod_p p^{n_p+m_p}$ . Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости $\omega_1\mid\omega_2$ если $v_p(\omega_1)\leq v_p(\omega_2)$ для всех $p$ . Мы можем также ввести для супернатуральных чисел понятие наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель, определив

\displaystyle \operatorname{lcm}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\sup(v_p(\omega_i))}

\displaystyle \operatorname{gcd}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\inf(v_p(\omega_i))}

С помощью этих алгоритмов мы сможем как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Мы также можем распространить обычные p-адические функции на супернатуральные числа, определив $v_p(\omega)=n_p$ для каждого $p$ .

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп, и благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.