Дифференциальный бином

В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида

$I = x^m (a+bx^n)^p\;dx,$

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа.

Свойства

Выразимость в элементарных функциях

Дифференциальный бином выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

• $p$ — целое число. Используется подстановка $x=t^k$, $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$;
• $\frac{m+1}{n}$ — целое число. Используется подстановка $a + b x^n = t^s$, $s$ — знаменатель дроби $p$.
• $p+\frac{m+1}{n}$ — целое число. Используется подстановка $a x^{-n} + b = t^s$, $s$ — знаменатель дроби $p$.

Связь с бета-функцией и гипергеометрической функцией

Дифференциальный бином выражается через неполную бета-функцию:

$I = \frac{1}{n} a^{(m + 1)/n + p} b^{-(m + 1)/n} B_y \left( \frac{m+1}{n}, p - 1 \right),$

где $y = \frac{b}{a} x^n$, а также через гипергеометрическую функцию:

$I = \frac{1}{1+m} a^{(m + 1)/n + p} b^{-(m+1)/n} y^{(m + 1)/n} {}_2F_1 \left( \frac{m + 1}{n}, 2-p; 1+\frac{m+1}{n}; y \right).$

История

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случах была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году.

См. также

• Список интегралов элементарных функций

Ссылки

• Дифференциальный бином в БСЭ.
• Integration Of Differential Binomial (англ.) на сайте PlanetMath.
• Tables of indefinite integrals.