Эксцентриситет

Эллипс (e=1/2), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом F и директрисой. (|FM| = e |MM'|)

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается “$e$” или “$\varepsilon$”.

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку $F$ и прямую $d$ и зададим вещественное число $e>0$. Тогда геометрическое место точек $M$, для которых отношение расстояний до точки $F$ и до прямой $d$ равно $e$ раз, является коническим сечением. То есть, если $M'$ есть проекция $M$ на $d$ то

$|FM| = e\cdot |MM'|.$

Связанные определения

• Точка $F$ называется фокусом конического сечения.
• Прямая $d$ называется директрисой, число $e$ — эксцентриситетом.

Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, а также парабола (при y=0), на одной поверхности третьего порядка

Свойства

• В зависимости от эксцентриситета, получится:
  • при $e>1$ — гипербола.
  • при $e=1$ — парабола;
  • при $e<1$ — эллипс;
  • для окружности полагают $e=0$.

• Эксцентриситет эллипса может быть выражен через отношение малой ($b$) и большой ($a$) полуосей:

  $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}.$

• Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- ($r_\mathrm{p}$) и апоцентров ($r_\mathrm{a}$):

  $e=\frac{r_\mathrm{ap}-r_\mathrm{per}}{r_\mathrm{ap}+r_\mathrm{per}}=1-\frac{2}{\frac{r_\mathrm{ap}}{r_\mathrm{per}}+1}$

• Для эллипса и гиперболы эксцентриситет равен отношению расстояния между фокусами к большей или вещественной оси.

Литература

• А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136с.