Površina

Površina poliedra je vsota ploščin vseh mejnih ploskev - na sliki je mreža kocke

Glej tudi: Površina (razločitev).

Površína je v geometriji merilo za velikost ploskve. Površina je v tesni zvezi s ploščino in v nekaterih jezikih uporabljajo za oba pojma isto besedo. V slovenščini izraz ploščina praviloma uporabljamo za dvorazsežne objekte (like - dele ravnine), površina pa za trirazsežne objekte (telesa - dele prostora).

V slovenski matematiki je oznaka za površino velika črka P (začetna črka besede površina), v novejšem času pa se uveljavlja tudi velika črka S (začetna črka latinske besede superficium). V tujih jezikih pogosto srečamo tudi oznako A (začetna črka latinske besede area).

Površina oglatega telesa

Za ploskev, ki je sestavljena iz več ravnih ploskvic, je površina enaka vsoti ploščin posameznih ploskvic. To definicijo pogosto srečamo v povezavi s poliedri (oglatimi telesi): površina poliedra je vsota ploščin vseh njegovih mejnih ploskev. Površino poliedra lahko ponazorimo tako, da vse ploskve razgrnemo v isto ravnino - tako dobljeno sliko imenujemo mreža geometrijskega telesa.

Površino neravne ploskve izračunamo z integralom

Za neravne ploskve je stroga matematična definicija nekoliko bolj zapletena, a v bistvu gre za isti princip: površina je vsota ploščin infinitezimalno majhnih ploskvic, ki pokrivajo dano ploskev. Če je ploskev podana kot funkcija dveh spremenljivk z = f(x,y) (za (x,y) z danega območja D), potem je površina ploskve enaka:

$P=\int _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}\,dx\,dy$$P=\int _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}\,dx\,dy$

Formule za površino

Za računanje površin teles uporabljamo naslednje formule:

• površina kocke z robom a:

$P=6a^{2}\!\,$$P=6a^{2}\!\,$

• površina kvadra z robovi a, b in c:

$P=2ab+2ac+2bc\!\,$$P=2ab+2ac+2bc\!\,$

• površina prizme:

$P=2{\mathcal {O}}+pl\!\,$$P=2{\mathcal {O}}+pl\!\,$ (O je ploščina osnovne ploskve, pl je površina plašča)

• površina pokončne prizme:

$P=2{\mathcal {O}}+ov\!\,$$P=2{\mathcal {O}}+ov\!\,$ (O je ploščina osnovne ploskve, o je obseg osnovne ploskve, v je višina prizme)

• površina pokončnega krožnega valja s polmerom r in višino v:

$P=2\pi r^{2}+2\pi rv\!\,$$P=2\pi r^{2}+2\pi rv\!\,$

• površina piramide:

$P={\mathcal {O}}+pl\!\,$$P={\mathcal {O}}+pl\!\,$ (O je ploščina osnovne ploskve, pl je površina plašča)

• površina pokončnega krožnega stožca s polmerom r, višino v in stranskim robom (stranico) s:

$P=\pi r^{2}+\pi rs\!\,$$P=\pi r^{2}+\pi rs\!\,$

• površina krogle s polmerom r:

$P=4\pi r^{2}\!\,$$P=4\pi r^{2}\!\,$

Mere za površino

Mednarodni sistem enot predpisuje za merjenje površine izpeljano enoto kvadratni meter.

Glej tudi

• ploščina
• ploskev
• prostornina