Логаритам

Логаритми различитих основа: црвени је за основу e, зелени за основу 10, а љубичасти за основу 1.7. Логаритми свих основа пролазе кроз тачку (1,0).

У математици логаритам је функција која одређује експонент у једначини bⁿ = x. Логаритам је инверзна функција у односу на експоненцијалну. Обично се пише као log_b x = n. Пример:

$\!\,3^{4}=81\Leftrightarrow \log _{3}81=4$$\!\,3^{4}=81\Leftrightarrow \log _{3}81=4$

Логаритам је једна од три врло сродне функције. Уколико имамо bⁿ = x, b може да се одреди кореновањем, n логаритмовањем, а x експоненцијалном функцијом.

Негативни логаритам се пише као n = −log_b x; пример његове употребе је у хемији где представља концентрацију водоника (pH вредност).

Антилогаритам се користи да означи функцију инверзну логаритму (експоненцијална функција, односно степеновање). Пише се као antilog_b(n) и значи исто што и bⁿ.

Двоструки логаритам је инверзна функција двоструке експоненцијалне функције. Супер логаритам или хипер логаритам је инверзна функција супер експоненцијалне функције. Супер логаритам за x расте спорије и од двоструког логаритма за велико x.

Дискретни логаритам се помиње у теорији коначних група. Верује се да је за неке коначне групе дискретни логаритам веома тешко израчунати, док је дискретне експоненцијале веома лако израчунати. Ова асиметрија има примене у криптографији.

Логаритамска и експоненцијална функција: инверзне функције

За сваку основу (b у bⁿ), постоји једна логаритамска и једна експоненцијална функција; оне су инверзне функције. За bⁿ = x:

• Експоненцијална функција одређује x за дато n. Да би се нашло x, треба b помножити самим собом n пута.
• Логаритамска функција одређује n за дато x. n је онај број пута колико треба поделити x са b да би се достигло 1.

Употреба логаритамске функције

Функција log_b(x) је дефинисана када је x позитивни реални број и b позитивни реални број различит од 1. Погледати логаритамске једначине за неколико правила у вези логаритамске функције. Логаритамска функција може бити дефинисана и за комплексне аргументе. Ово је објашњено на страни природног логаритма.

За целе бројеве b i x, број log_b(x) је ирационалан (тј. не може се изразити као разломак два цела броја) ако b или x има прост фактор који други нема (тј. ако им је највећи заједнички делилац 1, а и b и x су већи од 1). У неким случајевима, ову чињеницу је веома лако доказати. На пример: ако је log₂3 рационалан број, тада бисмо имали log₂3 = n/m за нека два позитивна цела броја n и m, из чега би важило 2ⁿ = 3^m. Међутим, последња једначина је немогућа јер је 2ⁿ паран број, а 3^m непаран број.

Неспецифицирана основа

• Математичари генерално разумеју или "ln(x)" или "log(x)" да значи log_e(x), тј. природни логаритам, а пишу "log₁₀(x)" само ако је у питању декадни логаритам.

• Инжењери, биолози и још неки пишу само "ln(x)" или (ређе) "log_e(x)" када се мисли на природни логаритам броја x, а користе "log(x)" да означе log₁₀(x) или, у рачунарству, бинарни логаритам log₂(x).

• Понекад се Log(x) (са великим словом L) користи да означи log₁₀(x) од стране људи који користе log(x) (са малим словом l) да означе log_e(x).

• У већини програмских језика укључујући и C програмски језик, C++, Pascal, Fortran и BASIC програмски језик, "log" или "LOG" означава природни логаритам.

Промена основе

Иако постоји неколико корисних једначина, најважнија за употребу калкулатора је наћи логаритам са основом различитом у односу на ону уграђену у сам калкулатор (обично су уграђене log_e и log₁₀). Да бисмо нашли логаритам са основом b користећи неку другу основу k:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}$$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}$

Доказ једначине за промену основе

$b^{\log _{b}(x)}=x\!\,$$b^{\log _{b}(x)}=x\!\,$	по дефиницији
$\log _{k}\left(b^{\log _{b}(x)}\right)=\log _{k}(x)$$\log _{k}\left(b^{\log _{b}(x)}\right)=\log _{k}(x)$	логаритмујемо обе стране
$\log _{b}(x)\,\log _{k}(b)=\log _{k}(x)$$\log _{b}(x)\,\log _{k}(b)=\log _{k}(x)$	упростимо леву страну једнакости
$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}\,\!$$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}\,\!$	поделимо са logk(b)

Све ово указује да су све логаритамске фукције (без обзира на основу) сличне једна другој.

Употребе логаритамске функције

Логаритми су корисни у решавању једначина где је непознат експонент. Логаритми имају прост извод, тако да се често користе као решења интеграла. Даље, велики број јединица у науци се изражава преко логаритама других јединица; погледати логаритамску скалу за објашњење и листу јединица.

Лакше рачунице

Логаритми пребацују фокус са обичних бројева на експоненте. Докле год се иста основа користи, овиме су неке операције олакшане:

Операције са бројевима	Операције са експонентима	Логаритамски идентитет
$\!\,ab$$\!\,ab$	$\!\,A+B$$\!\,A+B$	$\!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)$$\!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)$
$\!\,a/b$$\!\,a/b$	$\!\,A-B$$\!\,A-B$	$\!\,\log(a/b)=\log(a)-\log(b)$$\!\,\log(a/b)=\log(a)-\log(b)$
$\!\,a^{b}$$\!\,a^{b}$	$\!\,Ab$$\!\,Ab$	$\!\,\log(a^{b})=b\log(a)$$\!\,\log(a^{b})=b\log(a)$
$\!\,{\sqrt[{b}]{a}}$$\!\,{\sqrt[{b}]{a}}$	$\!\,A/b$$\!\,A/b$	$\!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})=\log(a)/b$$\!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})=\log(a)/b$

Пре употребе електронских калкулатора, ово је чинило тешке операције са два броја лакшим. Једноставно би нашли логаритам оба броја (за множење и дељење) или само првог броја (за кореновање или где је један број већ експонент) у логаритамској таблици и извршили простију операцију над њима.

Математичка анализа

За израчунавање извода логаритамске функције, користи се следећа формула

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}$${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}$

где је ln природни логаритам, тј. са основом e. Пуштајући да b = e:

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)+C$${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)+C$

Може се видети да следећа формула даје интеграл логаритамске функције

$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$$\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Историја

Јост Бирги, швајцарски произвођач сатова је први приметио логаритме. Метод природног логаритма је први предложио 1614 Џон Непер у својој књизи Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Овај метод је допринео у напретку науке, а посебно астрономије чинећи неке тешке рачунице могућим. Све до употребе рачунара у науци, овај метод је коришћен у свим гранама практичне математике. Поред своје употребе у рачуницама, логаритми су попунили важно место у вишој, теоретској математици.

У почетку, Непер је логаритме звао "вештачким бројевима", а антилогаритме "природним бројевима". Касније, Непер је формирао реч логаритам, звучну кованицу која је требала да означи однос: λoγoς (logos) и αριθμoς (arithmos) што представља број. Термин антилогаритам је уведен пред крај 17. века и, иако се никада није претерано користио у математици, постојао је у таблицама док није изашао из употребе.

Логаритамске таблице

Пре рачунара и калкулатора, употреба логаритама је значила употребу логаритамских таблица које су морале бити ручно прављене. Логаритми са основом 10 су били најзгоднији када употреба електронских средстава није била доступна.

Бриџс је 1617. године објавио прву таблицу логаритама са основом 10 свих целих бројева до 1000 са тачношћу до осам децималних места. Наставио је 1624. у делу Arithmetica Logarithmica са таблицом која је садржала логаритме свих целих бројева од 1 до 20.000 и од 90.000 до 100.000 са тачношћу од четрнаест децималних места, као и увод у коме су теорија и употреба логаритама у потпуности развијени. Интервал од 20.000 до 90.000 је попунио Адријан Влаку (Adrian Vlacq), холандски рачунар, али у његовој таблици, која се појавила 1628, логаритми су дати на само десет децимала.

Калет је 1795. дао логаритме од 100.000 до 108.000 са тачношћу до осме децимале. Једина битна екстензија Влакуове таблице је дао Санг 1871. чија је таблица имала логаритме свих бројева до 200.000 на седам децимала.

Бригс и Влаку су такође објавили оригиналне таблице логаритама тригонометријских функција.

Поред поменутих таблица, велика колекција под именом Tables du Cadastre је конструисана под вођством Пронија, са оригиналним рачуницама, под патронатом француске републичке власти око 1700. године. Овај рад, који је садржао логаритме свих бројева до 100.000 на деветнаест децимала и бројева од 100.000 до 200.000 на двадесет четири децимале постоји само у рукопису у париској обсерваторији.

Данашњим студентима који имају могућност коришћења рачунара и електронских калкулатора, рад који је уложен у ове таблице је само мали индикатор велике важности логаритама.

Алгоритам

Да би се израчунао log_b(x) уколико су b и x рационални бројеви и x ≥ b > 1:

Нека је n₀ највећи цео број такав да је b^n₀ ≤ x или,

$n_{0}=\lfloor \log _{b}(x)\rfloor$$n_{0}=\lfloor \log _{b}(x)\rfloor$

онда

$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{\log _{x/b^{n_{0}}}(b)}}$$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{\log _{x/b^{n_{0}}}(b)}}$

Овај алгоритам рекурзивно примењен даје верижни разломак

$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{n_{1}+{\frac {1}{n_{2}+{\frac {1}{n_{3}+\cdots }}}}}}.$$\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{n_{1}+{\frac {1}{n_{2}+{\frac {1}{n_{3}+\cdots }}}}}}.$

Дати логаритам је за углавном ирационалан за већину улазних променљивих.

Види још

• Логаритамске једначине
• Логаритамска скала

Логаритам na Wikimedijinoj ostavi