>橙が幻想郷の賢者となった暁にはその威光が幻想郷内にとどまらず遥か宇宙のにまで轟くことでしょう…

真面目に読んでいたけど最後の一行が宇宙速度となんの関係もないただの親バカで駄目だった

今回は宇宙速度の導出について説明するのでまず予備知識から
数学っていうか高校物理のお話になります
各公式や法則の詳細説明は行わないので悪しからず（スレあき自身もちゃんと分かってないので…）

宇宙速度導出には地球の質量Mや半径Rといった黒板の定数値が必要になります（今回はwikipediaから拾った値を使います）

重力の影響を計算する際はニュートンの万有引力の法則を使います
物体にかかる万有引力（重力）の大きさは黒板の式で計算できますよ
また円運動する物体にかかる遠心力の計算も必要になりますので遠心力の公式も載せておきます

宇宙速度導出には力学的エネルギー保存則も必要です
力学的エネルギー保存則は「摩擦や空気抵抗などの非保存力と呼ばれる力が働かなければ、その物体の運動エネルギーKと位置エネルギーUの和Eは一定値に保たれる」という法則です
なお物体の運動エネルギーKと位置エネルギーUは黒板の式で計算できます

なんでこんな公式が成り立つかの説明は端折ります…
（説明してるだけで板書5〜6枚以上は要ります）

まずは第一宇宙速度v1から計算してみましょう
第一宇宙速度で射出された物体は海抜0mの高度で等速円運動することとなります
この状態を満たすには射出された物体にかかる重力と遠心力が釣り合っていればOKです

という訳で万有引力の公式と遠心力の公式を使って力のつり合いの式を立ててそれをv1について解いてあげます
その結果第一宇宙速度はv1=√(GM/R)=7.91km/sと求まります

次に第二宇宙速度v2の計算です
第二宇宙速度で射出された物体はやがて地球の重力が一切及ばないエリア（無限遠）にまで到達することが可能となります
到達可能というのは「物体が停止するまでにギリギリ到着できる」ということなので無限遠での速度は0となります

地球表面上での射出時および無限遠での物体の力学的エネルギーは等しい（保存されている）ので黒板の関係式が組めます
これをv2について解いてあげればOKですね
その結果第二宇宙速度はv2 = √(2GR/M) = √2*v1 = 11.2km/sと求まります

小学校の時に宇宙の図鑑で第１第２宇宙速度の数字だけを知り
高校物理で導出法を学んだ特にちょっとだけ感動した

最後は第三宇宙速度v3です
これは地球と太陽両方の影響を加味して計算する必要があるため一筋縄ではいきません

第三宇宙速度で射出された物体はやがて太陽の重力が一切及ばないエリア（無限遠）にまで到達が可能なはずです
このことから地球公転軌道上での脱出速度をv_s0とおくと第二宇宙速度の時と同様の計算ができることになります
その結果v_s0 = 42.1km/sとなります
ただしこれは太陽系の中心で静止している太陽から見た速度であり、地球上で見た時の速度とは異なります

地球上で発射した際は地球が初めから持っている公転速度が初速度に加わるのでこの影響を除く必要があります
地球上での射出速度をv_s1、地球の公転速度をvEとすると相対速度の計算によって
v_s1 = v_s0 - vE = 12.3 km/sとなります
計算はまだもうちょっと続きます…

第二より第一の方が低くていいんだな…
どうしても感覚的に空気抵抗を考えてしまうようだ

実際に地球上で物体を発射する際は重力の影響を振り切るということも必要になります
地球の重力によって速度が減っていき、完全に地球の重力影響下から抜け出せた際の速度がv_s1（さっき求めた速度) になっていないと太陽系外まで行けません

地球の重力影響から抜け出す → 地球の引力による位置エネルギーUが0になると言い換えることができるので
力学的エネルギー保存則を使って
(地球表面上でv3で射出した際の力学的エネルギー) = (地球の重力から抜け出した際の力学的エネルギー) という関係式を組みます
この式をv3について解いてあげるとようやく
v3 = √(v_s1^2+2GM/R) = 16.7km/s と求まります

第三でコレなんですから第四宇宙速度とか第五宇宙速度ってなると計算がクソ面倒くさそうですね…

←興味本位でクリックしてスレ文を途中まで読んだ俺の脳内イメージ

第四以上の宇宙速度についてはこちらを参照してください
スケールが急激にインフレしていきます…
http://space-infoblog.com/2018/09/23/post-532/#outline__1_4

第一宇宙速度v1…回転！

>第四以上の宇宙速度についてはこちらを参照してください
>スケールが急激にインフレしていきます…
>私たちが暮らす、天の川銀河系における第四宇宙速度は約300 km/s (=1,080,000 km/h)です。
>人工物が出した史上最高速度が、太陽系探査機Helios 2 が記録した 252,792 km ですので、現時点で人類は第四宇宙速度以上の速度を出すことができていません。
まだ秒速50キロも足りんのか…

宇宙速度の話で木星土星天王星海王星を探査したボイジャー１号２号を思い出して
wiki読んでみると年度ごとの距離と速度の一覧が載っていた
関係ないがボイジャー打ち上げは1977年でｸﾝﾇｼｻﾝの生誕年

第二宇宙速度は離心率とか絡むと勝手に思ってたけど力学的エネルギー保存則でいけるのね

って事はこれ地球-月間の距離と月の公転速度が分かれば
月の質量が算出できるのか…

ひょっとして最近KSPやった？

月ロケットとかサテライトひまわりとかパチュリー様も詳しそうな話だ

人工衛星を飛ばすのに音速の20倍以上のスピードが必要なんだよな

『王立宇宙軍』のシロツグが人工衛星の原理を解説する台詞思い出した
「ようするに俺たちが飛ばそうとしてるのは飛んで落ちるだけの単純なものだ
だが俺はこの単純な所が気に入ってる」だったかな

>人工衛星を飛ばすのに音速の20倍以上のスピードが必要なんだよな
・第一宇宙速度が7910[m/s]
・音速がおよそ340[m/s]
なので7910÷340≒23.3倍必要と言うことなりますね

>ひょっとして最近KSPやった？
名前は知ってますがやったことは無いですね
今回のネタは2年ぐらい前に途中まで作って放置してた板書を昨日完成させて作ったものです

>第二宇宙速度は離心率とか絡むと勝手に思ってたけど力学的エネルギー保存則でいけるのね
第一宇宙速度は地球周回を完全なる等速円運動とみなしてるから多少の誤差があるっぽい

ドイツのロケット科学者ヴェルナー・フォン・ブラウンが中学生の時に宇宙旅行に必要な数式の意味を教師に聞いたところ
「君がロケットや宇宙の事を本当に知りたいなら独力でこれらの数式を解けるように勉強したまえ」
と返ってきてそれから猛勉強して難しい数式も理解出来るようになったという逸話

>第四以上の宇宙速度についてはこちらを参照してください
>スケールが急激にインフレしていきます…
>http://space-infoblog.com/2018/09/23/post-532/#outline__1_4
スイングバイ航法って惑星の重力に引かれる勢いを利用してさらに加速するんだっけ？

>>第四以上の宇宙速度についてはこちらを参照してください
>>スケールが急激にインフレしていきます…
>>http://space-infoblog.com/2018/09/23/post-532/#outline__1_4
>スイングバイ航法って惑星の重力に引かれる勢いを利用してさらに加速するんだっけ？
そうそう
惑星に近づいてくの字カーブ進航して勢いをつけるやつ
物理エンジンyoutuberの人の動画が分かりやすい
https://www.youtube.com/watch?v=YKTF1CK7pes

魔理沙のスペカのエスケープベロシティが第二宇宙速度って意味なんだそうな

一般相対論を真面目に考慮すると重力ポテンシャルの形が変わるからちょっとだけずれるんだよね
水星の近日点移動と同じで影響はすごく小さいけど

数学藍様久しぶりに見た気がする
タイムリーなんで今度ＡＢＣ予想やってくだち

ボイジャー1号の速度でもプロキシマ・ケンタウリに到達するまで7万年以上と聞くと途方もない話に…

>数学藍様久しぶりに見た気がする
>タイムリーなんで今度ＡＢＣ予想やってくだち
正直全然理解できてないんですよねアレ
やるにしても1回では収まりきらないと思うのでなかなか大変そうですし
まあいつの日か…きっと…

世界中の数学者が理解に苦しんでる理論を解説しなきゃならないのはハードル高すぎる

証明が難しすぎて査読に8年かかったらしいしな……

まあそこまで行かなくてもABC問題の今までの歴史とか聞けたら楽しそう

証明は未来から来た論文とか揶揄されるほど難解だけどABC予想の中身やその関連だけならまだなんとかなりそう
弱いABC予想がフェルマーの最終定理の証明に繋げることができたり結構興味深い

フェルマー=ワイルズの定理とか証明の歴史聞くだけで文系で何言ってんのか3割も分かってない俺ですらワクワクするもんな

俺はQEDを読んで高等数学ちょっとわかった気になるマン！

ニュートンとか空想科学読本とか好きだけど数式出るとさっぱり理解できない
こういうのを定義決めて計算して軌道弾き出すのって凄いよなぁ

第一宇宙速度でよく誤解されるんだけど藍ねーちゃんが言ってる通り重力に負けず地表で落ちないために必要な速度よ！
静止起動だと距離が遠くなって重力が弱くなるから公転速度は第一宇宙速度ほどは要らなくなるわね
√(6.67e-11 × 5.97e+24 / R) m/sぐらいの速度で良いから地表ならR=6.37e+6から第一宇宙速度で静止起動なら4.22e+7だから毎秒3kmぐらいね！
ケプラーの第3法則でも簡単に計算できるけど

ABC予想についてはNatureの記事を読む限りまだ証明が数学界に広く認められたとは言えなそう
というかNatureはかなり懐疑的な書き方をしてる
https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2
>Peter Scholze of the University of Bonn and Jacob Stix of Goethe University, Frankfurt, privately circulated a rebuttal of his abc proof, zeroing in on one specific, crucial passage that they said was faulty.
>The official acceptance of the papers now seems unlikely to change this stance. “My judgment has not changed in any way since I wrote that manuscript with Jakob Stix,” Scholze told Nature in an email.

>第一宇宙速度でよく誤解されるんだけど藍ねーちゃんが言ってる通り重力に負けず地表で落ちないために必要な速度よ！
そうだね
>静止起動だと距離が遠くなって重力が弱くなるから公転速度は第一宇宙速度ほどは要らなくなるわね
ふーｎ
>√(6.67e-11 × 5.97e+24 / R) m/sぐらいの速度で良いから地表ならR=6.37e+6から第一宇宙速度で静止起動なら4.22e+7だから毎秒3kmぐらいね！
うｎ？
>ケプラーの第3法則でも簡単に計算できるけど

物理の仕事をしてる身からすると入り口は何でもいいから物理に興味を持ってくれるととても嬉しい…
実生活に役に立たないからとか言って予算切る役人みたいな考えにはならないでほしい

素粒子物理あきか宇宙物理あき？

素粒子の実験屋さんよ

フェムトメートルスケールの学問か

数学らんさまスレ楽しみにしてます
大学の理学部ではこのスレのようなことを勉強するのでしょうか

クォークに内部構造があるのかはわからんけどプランク長程度よりも小さい構造はあり得ないんだとか聞いた
1bitの情報を持つために必要なサイズがその程度だとか
よくわからんがすげえ

>大学の理学部ではこのスレのようなことを勉強するのでしょうか
今回の板書は高校数学と物理からちょっと背伸びしたぐらいの内容かな

第二宇宙速度までは高校物理でやったけど第三宇宙速度の求め方を知ったのは初めてだ 適当な解説を入れれば大学試験にも出せそう
「ロケットの発射場は自転を利用するために赤道付近に作られている」って聞くけどもv1 v2 v_s1が「地球の中心から見た物体発射速度」とするならば それぞれ自転速度(赤道上の場合0.46km/s)を引くと「地表面から見た物体発射速度」になるんだろうか
人工衛星の発射について第一宇宙速度を考えると本来7.91km/s必要なところ7.91-0.46=7.45km/sで足りるのでして力学的なエネルギーに換算すると速度の2乗の比だから88.7%まで減ってる つまり燃料1割少なくできるし伴ってロケットの重量も減らせて打ち上げへのハードルが下がる…はず？

abc予想が気になったから宇宙際タイヒミュラー理論の講演の動画見てきたよ 何となく数学以外にも応用利きそうと思った

宇宙ロケットの基地が赤道付近にあると有利と言われるのは自転速度の活用よりも軌道傾斜角という要素が重要だったりする
燃料の節約で有利なのは間違ってないのでよくごっちゃにされる

数学藍様にお願いがあるんだけど気が向いたらでいいから最近話題のABC証明について教えてほしい
どうせ詳しく話されてもわからないから導入とどうしてこれが証明されたのがどれほどすごいのかの概要だけでいいから教えてほしいお願いします