3. Триедър и формули на Френе за пространствена линия

3.1. Случай на равнинна линия

Формулите на Френе са приложими и за равнинна линия. За такава линия векторите

 лежат в равнината на линията и следователно тяхното смесено произведение е 0.От формулата (8) следва, че

(9)

Тв.1. Равенството (9) е необходимо и достатъчно условие една линия   да е равнинна (случаят на права се изключва).

Ако линията е права, т.е. всичките й точки лежат на права,векторите  са колинеарни (лежат на правата) и съгласно формулата (7) следва

(10)

Тв. 2. Равенството (10) е необходимо и достатъчно условие една линия  да е права .

Забележка.Разглеждаме линии за които   за всяко s.

Крива на Viviani

Тази линия има параметрични уравнения

(11)

където Непосредствено се проверява,че от (11) следват равенствата

(12)

което показва, че кривата на Вивиани е сечение на сфера с радиус 2а и прав цилиндър с радиус, равен на половината от радиус на сферата.

Този факт е онагледен на фиг.1 с помоща на програмата

with(plots):
p1:=implicitplot3d(x^2+y^2+z^2=4,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,grid=[15,15,15],color=red):
p2:=implicitplot3d(x^2+y^2-2*x=0,x=-2..2,y=-2..2,z=-2.2..2.2,grid=[15,15,15],color=blue): p3:=spacecurve([(1+cos(q)),sin(q),2*sin(q/2)],q=0..4*Pi,thickness=6,color=green):
display([p1,p2,p3]);

фиг.1	фиг.2

На фиг.2 е представена самата крива на Вивиани като е използвана програмата

spacecurve([2*(1+cos(q)),2*sin(q),4*sin(q/2)],q=0..4*Pi,thickness=4);

Като са използвани формулите (7) и (8) са намерени кривината и торзията на линията,чиито графики са показани съответно .на фиг.3 и фиг. 4. За торзията е приложена програмата

 plot(tau,q=0..4*Pi);

фиг.3	фиг.4

От фигура 4 се забелязва факта ,че торзията си променя знака.

Следват формулите за векторите на триедъра на Френе:

Триедърът на Френе  (както и триедърът ) се нарича понякога “Подвижен триедър на Френе”. Повод за това ни дава факта, че той е определен във всяка точка на линията и при движение по кривата той се променя (предвижва се), както е илюстрирано на съответните фигури.

BELEJKI:

1. Binormalniat vector b pri Vitlowata liniq w nachaloto na paragrafa da se sakrati na a.

3.Триедър и формули на Френе за пространствена линия

4.Равнинни криви,представени параметрично