Opleiding Bouwkunde

Papieren toren

De aanzet :

De mens heeft zich al erg vaak de vraag gesteld hoe hoog hij een gebouw kan maken. Tegenwoordig luidt het theoretische antwoord: met de huidige stand van de wetenschap en de bouwkunde in het bijzonder maar ook de middelen en de materialen waarover we beschikken kunnen we zo hoog als we willen. Alleen moeten we met een aantal menselijke factoren rekening houden, die leven in de hoogte bemoeilijken. Flatgebouwen gaan wiebelen, en we willen niet zeeziek worden in onze huiskamer.

Hoogste gebouwen ter wereld zijn voorlopig de Petronas Towers in Kuala Lumpur, met een erkende hoogte van 452 meter. Sinds kort is er ook de Taipei 101, 508 meter hoog en 101 verdiepingen.

Om de kracht van de constructiewetenschap en de bouwkunde te illustreren, willen we een toren bouwen in een ogenschijnlijk zwak materiaal: papier.

Wat maakt een toren van papier stevig?

Wat maakt papier stevig?

Om te weten hoe stevig papier kan zijn, moeten we eerst weten waaruit papier bestaat. Papier bestaat uit vezels van cellulose. Dat is een stof die in hout zit of in katoen of in sommige grassen of in andere textielvezels. Die vezels worden min of meer door mekaar geweven tot een blad papier. Hoe langer de vezels en hoe beter die vezels in mekaar geweven zijn, hoe steviger het papier wordt. Papier van houtvezels is door de band genomen minder stevig dan papier van katoenvezels, omdat houtvezels minder lang zijn dan katoenvezels. Je kunt ze dan ook minder stevig door elkaar weven.

Hoe maak je papier stevig?

Als je wil dat een A4'tje een bepaald gewicht kan dragen, moet je het een bepaalde vorm geven. Als je een tijdje experimenteert, zul je merken dat de stevigste vorm de buisvorm is. Op een buis papier kun je redelijk wat gewicht zetten, zul je merken.

Waarom is een buis papier stevig?

Uitleggen waarom een buis papier stevig is, is al een stuk moeilijker. Het is niet zo moeilijk om te begrijpen dat een constructie het stevigst is, als ze overal evenveel gewicht draagt. Dat komt omdat in dit geval alle vezels van het papier dan even hard werken om het gewicht te dragen. Alleen is dat bij een rechthoekige kolom ook het geval, en toch is die constructie minder stevig.

Hoe komt dat?

Allereerst moeten we kijken hoe het papier bezwijkt. Dat komt omdat er builen en deuken ontstaan die alsmaar groter worden tot de toren plots in mekaar klapt. Dat is zo voor een koker of een cylinder. Maar een cirkel is symmetrisch om zijn as. Hierdoor ontstaan bij elke beginnende deuk of buil zogenaamde ringspanningen, die werken de vorming van de builen of deuken tegen.

Hoe begeeft zo'n papieren buis het?

We weten nu al dat er builen en deuken in het papier komen. Maar waar komen die vandaan? Dat komt omdat er in het papier zogenaamde locale instabiliteiten of vormfouten zitten. Dat kunnen zwaktes zijn in het papiervezelweefsel, maar ook deukjes of 'builen' (kleine bultjes), die zelfs microscopisch klein kunnen zijn. Die deukjes of builen worden alsmaar groter, hoe meer gewicht je erop zet, gelukkig worden ze een beetje tegengewerkt door de ringspanningen maar uiteindelijk blijken die ook onvoldoende. Dan wordt de buis instabiel en begeeft het. Dit noemen we plooien.

Nu, een buis papier dankt z'n sterkte aan twee dingen.
Ten eerste: de stijfheid het materiaal, in dit geval papier.
Ten tweede: de dikte van de wand van de buis: hoe dikker de wand, hoe steviger. Als je een buis met twee lagen papier hebt, is die dubbel zo sterk als een buis met één laag. Neem je je papier echter twee keer dikker (dus één laag die twee keer zo dik is), dan wordt de buis vier keer sterker.

Maar is een korte buis niet steviger dan een lange buis?

Een korte buis is ook steviger dan een lange buis. Dit is een iets ingewikkelder verhaal omdat een lange buis niet meer plooit, maar knikt. Denk hiervoor maar aan een rietje: druk je dat verticaal samen, knakt het in tweeën. Dat noemen we niet plooien, maar knikken. Als je een buis dus te lang maakt in verhouding tot z'n diameter, zal het plooien van het papier geen gevaar meer opleveren, maar het knikken. We moeten dus op zoek naar een papieren buis met een voldoende wanddikte om gewicht te dragen, en met voldoende lengte (we willen graag hoog bouwen) die toch geen onaanvaardbaar risico op knikken inhoudt. Een noot: de verhouding tussen lengte en diameter noemen we de slankheid van een toren. Het is dus van het grootste belang om een optimale verhouding te zoeken tussen de lengte, de wanddikte en de diameter van je buis.

Eén probleem: de stevigheid/stijfheid van een A4 meten.

Papier is geen homogeen materiaal. Eén A4 kan door de vormfouten die in het papier zitten, het veel sneller begeven dan een ander. Dat kan een verschil in draagkracht opleveren van maar liefst 50%!

Ook het oprollen is heel belangrijk. Stel dat je het A4 tot een dubbele laag wil oprollen, dan moet je dat ook vollédig doen. Stel dat er twee mm enkele wand overblijft, dan zit daar een zwakke plek!

Hoe maak je een stevige/stijve buizenconstructie? - de geschiedenis van het bouwen van de toren

We weten al dat je papier stevig maakt door het op te rollen tot niet al te lange, niet al te smalle buizen met een liefst stevige wanddikte.

Hoe verwerk je die buizen tot een constructie en een toren?

Kan zo'n toren wel gebouwd worden?

De uitdaging werd aangegaan door de onderzoeksgroep rond Professor Van Bogaert van de vakgroep Civiele Techniek. Algauw werd beslist dat een papieren toren in één stuk niet haalbaar was. De opdracht was toen om een bouwsteen te ontwerpen, of een module, die dan kon dienen voor de assemblage van de toren. Er werd uiteindelijk besloten om met driehoekige modules te werken van elk één meter hoog.

De bouwstenen

Die driehoeken bestaan uit telkens drie hoekpilaren met een diameter van 18 centimeter. Elke pilaar is voor maximale stijfheid nog eens samengesteld uit zeven smallere buizen. Stel dat we een buis van 1m hoog willen maken die voldoende gewicht kan dragen en niet uitplooit of uitknikt. Om dan de gewenste wanddikte te krijgen zouden we enorm veel papier nodig hebben (60 m). Door in die buis 7 kleinere buizen te schikken met een kleinere wanddikte hebben we maar 30 m nodig. Belangrijk om hierbij op te merken is dat de draagkracht van de pilaar kleiner is dan draagkracht van 1 samenstellende buis, maal zeven. Dat komt omdat elke buis onvolkomenheden of vormfouten kan bevatten, en omdat bij de constructie de aparte buizen qua lengte minimaal van elkaar kunnen verschillen, en daardoor verschillend belast kunnen worden. Tests hebben uitgewezen dat elke pilaar 150 kilo kan dragen. Voor de drie pilaren samen kunnen we wel stellen dat ze een gewicht van 450 kilo kunnen torsen.

Opbouw van de toren

Als we gewoon zeven pilaren op elkaar zouden stapelen, dan werd de buis voor een hoogte van zeven meter te smal, en zou ze knikken. Dat kunnen we tegengaan door het grondvlak van de constructie te vergroten. Een mogelijkheid zou zijn om zeven pilaren tot één grote pilaar samen te voegen, maar dan gebruiken we veel te veel materiaal. Dit moet eleganter op te lossen zijn. Daarom werd al gauw gekozen om te werken met driehoeken, waarin de pilaren op 1 meter afstand met elkaar worden verbonden.

Verbindingen

De pilaren worden onderaan en bovenaan met elkaar verbonden, door middel van horizontale papieren buizen. Hierdoor worden de pilaren in de constructie vastgezet. Bovendien worden de pilaren ook nog eens diagonaal met buizen met elkaar verbonden. Dit belet de toren in zijn geheel niet alleen uit te knikken maar maakt de constructie ook nóg een stuk stijver: ze zal zich nog meer verzetten tegen mogelijke horizontale krachten die op de toren kunnen inwerken.

Waarom driehoeken?

De toren kun je uiteindelijk zien als een constructie die is opgebouwd uit driehoeken. Dat zorgt voor een heel stevige constructie, omdat de driehoek geometrisch gesproken een zeer stevige of (haast) onvervormbare figuur is. Dit noemen we “vormvast”. Werken met driehoeken zorgt voor maximale stijfheid.

Spelen er nog krachten?

Maar er zijn nog meer krachten in het spel. Als we de modules gaan stapelen, vermindert met elke stapeling de draagkracht van de toren. De onderste module draagt tot 450 kilogram, de tweede een stuk minder, de derde nog minder… We kunnen stellen dat als we zeven hoog stapelen, dat de toren nog een draagkracht heeft van 225 kilogram.
Als we weten dat de toren 125 kilo weegt, dan weten we ook: op onze toren kan een mens van 100 kilo gaan staan.

Waarom vermindert de draagkracht? Omdat de constructie minder stabiel wordt door de minimale verschillen tussen de modules, geometrische onregelmatigheden en (vorm)foutjes in het papier. Je kunt je trouwens voorstellen, als je genoeg modules op elkaar stapelt, dat de constructie dan op zeker ogenblik helemaal instabiel wordt, net zoals je dat als kind meemaakt met de blokken uit je blokkendoos die je onverdroten op elkaar stapelt. Onthou wel dat je deze vermindering in draagkracht bijna kunt opheffen als je de bovenkant van de toren immobiel maakt. Bijvoorbeeld door hem aan een muur vast te maken.

Ontwerpen makkelijker dan bouwen

Het ontwerpen van de toren ging redelijk vlot, omdat er werd gewerkt volgens bekende bouwkundige principes. Het bouwen verliep echter een stuk moeilijker. Alles moest met de hand worden gemaakt, en tegelijkertijd moest erop worden gelet dat de modules zo weinig mogelijk van elkaar verschilden. Daardoor moest heel secuur worden gewerkt. Niet makkelijk.

Ook het testen van de belasting, het zoeken naar de ideale lengte, samenstelling en wanddikte van de buizen was een werk van lange adem. Dit door het onbekende materiaal: veel moest proefondervindelijk worden uitgetest. Bovendien moest er met ruime veiligheidsmarges worden gewerkt, die -zoals dat voor andere materialen als staal en beton wel het geval is- niet in pasklare grafieken in normen stonden afgedrukt.

Het allermoeilijkste element om te bouwen was de vloer bovenaan, omdat die zelfdragend moest zijn. Er kon bijvoorbeeld geen centraal steunpunt worden aangebracht, waarop de vloer kon steunen. Een vloer moet veel verschillende krachten verwerken, namelijk: er wordt met de hak in het midden op gesteund, en die kracht moet worden afgeleid naar de rand van de toren… Zonder centraal steunpunt moet dan een stevig ontwerp worden uitgewerkt, hier met opstaande rolletjes papier die aan elkaar worden gekleefd. Het gaat daarbij om meer dan 1.000 zulke rolletjes!

Het ontwerp :

Het testen :

De uitwerking :

 

Deze webstek wordt onderhouden door Matthieu De Beule en Wim De Belie. Laatste wijziging: 4-04-2007

Facultaire site IngenieurswetenschappenIngenieurswetenschappen