3. Felbontóképesség és átviteli függvény, kontraszt

 

Felbontóképesség

A Rayleigh-kritériumot már megismertük az Airy-kép levezetése során, itt most csak az eredményre hivatkozunk:

(1)
(2)

(2)-be helyettesítve az 550 nm-es hullámhosszat az amatőrcsillagász körökben közismert 138/D kifejezést kapjuk a feloldóképességre. Figyeljük meg, hogy az tulajdonképpen nem más, mint az Airy-korong sugara, és ez hullámhosszfüggő! Vagyis 656 nm-re már 165/D, 404 nm-re pedig 101/D értéket kapunk. A távcsőben megfigyelhető Airy-kép tehát nem egyetlen gyűrűrendszer, hanem különböző színű és paraméterű gyűrűrendszerek összessége. Az emberi szem azonban 550 nm-en a legérzékenyebb, így az ehhez tartozó kép a legerősebb, tulajdonképp ezt látjuk a relatíve halvány csillagok esetén.
A Rayleigh-kritériumon kívül más feloldási határokat is értelmeztek és használnak, bár nem egyenlő fényességű kettőscsillag-komponensek esetén inkább csak a Rayleigh-kritérium használatos. Az alábbi ábra szemlélteti a Dawes és Sparrow kritériumokat, valamint a teljesen feloldott esetet.

A felbontóképesség fenti értéke azonban csak ideális esetben érvényes. Amint a leképezés aberrációkkal terhelt, vagy központi kitakarása van a leképezőrendszernek, akkor az Airy-kép módosul, és ezzel együtt a feloldóképesség is. Ezt szemlélteti az alábbi ábra.

Amennyiben nem pontszerű forrásokra akarunk feloldóképességet értelmezni, sokkal nehezebb a helyzet. Egy vékony fekete vonal ugyanis világos háttér előtt beszürkül, egy fehér vonal sötét háttér előtt pedig kiszélesedik, legalábbis így kátjuk. Egy szabályosan ismétlődő struktúra (vagy egy szabálytalan intenzitáseloszlású kép) esetén nagyon fontos, hogy a felbontani kívánt részletek között mekkora az intezitáskülönbség, ehhez pedig be kell vezessük a kontraszt fogalmát.

 

Kontraszt, kontrasztátviteli függvény (Modulation Transfer Function)

Nézzük az alábbi ábrát, ahol is a leképezendő objektum egy szinuszosan váltakozó intenzitást mutató vonalrendszer. A kép is hasonló lesz, csakhogy az intenzitásviszonyok megváltoznak.

Az objektum intenzitásértékeit I0-al, a képét I-vel jelölveO a következőképp definiáljuk a kontrasztot:

(3)

A kontrasztátviteli koefficiens azt mutatja meg, hogy az objektum két részlete közötti kontraszt a képen milyen kontraszttal jelenik meg, vagyis:

(4)

Az alábbi ábra 100%-os objektum-kontraszt és ideális optika esetén, aberrációk jelenlétében illetve a távcsövön belüli reflexiók (fényveszteség, szórt fény) esetén mutatja a kontarsztátviteli hányadost, illetve annak megváltozását.

Látható, hogy ahogy az objektum egyre finomabb részleteit akarjuk feloldani (a vízszintes tengelyen jobbra haladunk), úgy egyre inkább csökken a kép kontrasztja (y tengely). Ez azért van, mert az objektum egymáshoz igen közeli egyes képpontjai a képen egymáshoz igen közeli diffrakciós képként jelenenk meg, nem pedig képpontokként. A közeli diffrakciós képek fényszegényebb részeire a szomszádos diffrakciós képek szórt fénye kerül, vagyis a diffrakciós képek intenzitáskülönbségei, a kontraszt csökken.
A kontrasztátviteli függvény (Modulation Transfer Function, MTF) a kép felbontásának függvényében mutatja CT változását:

Látható az ábrán, illetve a következő táblázat mutatja, hogy a MTF-t nem csak az aberrációk, de a központi kitakarás is jelentősen módosítja, márpedig a legtöbb távcsőtípus rendelkezik központi kitakarással. Ezért a következőkben pár mondat erejéig visszatérünk a diffrakciós elmélethez.

kitakarás (%)
0
25
50
Airy korong
84 %
73 %
48 %
eslő gyűrű
7 %
18 %
35 %
többi gyűrű
9 %
9 %
17 %
Airy korong átmérője (D mm-ben)
280/D
262/D
230/D

 

 

Központi kitakarás

Tegyük fel, hogy az a sugarú apertúrának a közepén, az átmérő-od részéig terjedő szintén körszimmetrikus kitakarás található. A 2. fejezetben (10) ekkor úgy módosul, hogy nem 0-tól a-ig, hanem a-tól a-ig végezzük el az integrálást:

(5)

A megoldás teljesen hasonló módon történik, a végeredmény is hasonló, pusztán annyi a változás, hogy megjelenik egy negatív előjelű tag:

(6)

(6)-ot ábrázolva látható, hogy növelésével egyre több fény kerül a gyűrűkbe, vagyis a kontrasztátvitel hatákonysága csökken:

 

Átviteli fügvény, konvolúció, PSF

Még egy értelemben beszélhetünk átviteli függvényről, mégpedig az optikai rendszer képátviteli függvényéről. A különféle aberrációk ugyanis módosítják az ideális képet, vagyis a fókuszsíkban nem egy tökéletes Airy-féle kép jelenik meg egy pontszerű forrásról. Jellemezzük az optikai karakterisztikáját S függvénnyel, legyen a képet ill. az objektumot leíró függvény K ill. O. Tekintsük mondjuk az Airy-féle képet leíró fv-t O-nak, s egy dimenzióra szorítkozva a konvolúciós integrál:

(7)

HO-485-1116 ábra

Ezt az S fv-t nevezzük pontforrás-eloszlásfüggvénynek (Point-Spread Function, PSF), vagy másképpen fogalmazva, a PSF az optikai rendszer válaszat egy impulzusfüggvényre. Amennyiben nem pontszerű a forrás, akkor is a PSF határozza meg a képet (a következő kifejezés jelöléseit az alatt lévő ábra mutatja):

(8)

HO-484-1115 ábra

A PSF-re, konvolúcióra később még többször visszatérünk, amikor a második félévben a digitális képfeldolgozásról, fotometriáról esik szó.

 

Hullámfronthiba

O

O

O