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第七期   2003/04/30 出刊
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數學專欄--希爾伯特的生平

  這一期的數學資訊,將為大家介紹對於現代數學影響深遠的數學家,希爾伯特(David Hilbert)

  希爾伯特認為,數學的發展在於問題的提出與解決。

帥帥的希爾伯特^^   希爾伯特是樂觀的數學家,他曾說過:『任何一個問題都有解,只需推演,就可以得解,數學中永遠沒有我們知道的。』這是足以振奮人心的一番話,經過有限步驟的嚴格推論,就可以找出數學問題的解來,即使是沒有解,能夠嚴格證明,也算是一種的解。其實,希爾伯特會有這種的觀點,其來有自。在希爾伯特嶄露頭角的代數不變量理論(invariant theory)中,他證明了任意次數形式的不變量都是有限生成的;而不是建構式的,得到的是一般的存在性定理(existence theorem)

  在當時,如果一個數學家要證明某個結果是否成立,以及問題是否解決了,最主流且明顯的方式,便是明確地給出答案,可是有些問題是極其複雜的,要直接地找出答案是很困難的;而且往往在新的領域中,符號的運用常毫無方向,不知該從何下手;因此,如果能用間接證明的方式,用已知的事實給出結果,這個東西是否存在?存在,或許我們能對這東西有了清楚的瞭解,進而去找出問題的解答。希爾伯特 便是找到了這樣一般的方法,對不變量理論做出了突破,這對當時是一個很大的衝擊,引起了很大的爭議。但是,逐漸地被大家接受他那有如神蹟般的方法,我們可以知道,這堅固了希爾伯特的信念,那就是Wir mussen wissen, wir werden wissen.(我們一定要知道;我們終將會知道)。

  看到這裡,大家會不會對於這樣的一個樂觀的數學家好奇呢?我們現在就來稍稍介紹他的生平 。

  希爾伯特生於普魯士哥尼斯堡,玩過一筆畫問題的人應該對這個城市有印象,〝七橋問題〞的那七座橋,便是在哥尼斯堡。德國著名的哲學家康德,也是哥尼斯堡人,康德是哥尼斯堡人的驕傲,也是希爾伯特少年時心目中的偶像。

  希爾伯特父親是法官,一直希望 希爾伯特 能繼承他的衣缽。母親受過良好的教育,非常景仰康德,對數學、天文學都有研究。她是希爾伯特的啟蒙老師,對於啟發希爾伯特對科學的興趣有相當影響。

  1872年 希爾伯特 進入普魯士著名的菲特立文科中學,由於志趣不合,在這裡 希爾伯特 表現並不佳。1880年,18歲的希爾伯特考上了哥尼斯堡大學,在自由的學術風氣裡,希爾伯特如魚得水,專心攻讀他最愛的數學,在這裡,希爾伯特和他一生的密友 Minkowski 相遇。1884年,25歲的 Hurwitz 來到哥尼堡大學擔任數學副教授,他們三人志趣相投,很快結下親密友誼,他們的友誼成為數學史上的一段佳話。

  1884年,希爾伯特在數學教授 Lindemann 的建議下,以代數不變量為題,完成他的博士論文。之後,希爾伯特旅行萊比錫、巴黎、哥廷根各地,拜訪各地數學家,旁聽數學大師的課,他拜訪過 Klein, Poincare, Jordan, Hermite, Kronecker 等人,這為他日後在數學上的發展打下了良好的基礎。

  1887年,希爾伯特回到哥尼斯堡大學擔任數學講師,同時全力鑽研不變量的理論。在1888年希爾伯特提出了他著名的 Basis Theorem 的證明,徹底解決了不變量理論的問題。

  不久之後,Herwitz 調到瑞士聯邦工業大學擔任數學教授, 希爾伯特便接替了他的職務,成為副教授。1892年 希爾伯特結婚了。

  1893年希爾伯特宣佈脫離不變量領域,開始研究數學女皇的王冠--數論,同年,希爾伯特 接替 Lindemann 成為哥尼斯堡大學的數學教授, 1895年,在 Klein 的奔走下,希爾伯特到德國的數學中心--哥廷根大學擔任數學教授。

  到了哥廷根,希爾伯特仍在數論上工作,並起草德國數學學會所委託的數論綜合報告,他查閱了自 Gauss 以來一切有關數的論文和著作,嚴格審查所有已知定理的證明,修正前人缺失,補足不完整的理論,將整個數論統一起來。他還統一了當時百家爭鳴的數學符號, 1897年,這份報告《代數數域的理論》(Zahlbericht) 正式出版,這部著作一問世,立刻引起巨大的迴響,被稱為十九世紀代數數論的頂峰,至今仍是一部經典著作。

  統一了數論,希爾伯特把他的矛頭指向了幾何。繼 Euclid 之後,希爾伯特又讓幾何作了一次的大一統。十九世紀的數學家發現:看似無懈可擊的歐氏幾何,仍存有重大缺陷。 Euclid 對點、線、面沒有下過明確的定義,而且有些證明不知不覺用了一些假設。 希爾伯特 重新審視歐氏幾何,提出了 21 條公理並且分析它們的重要性。希爾伯特還從歐氏幾何出發,點出了〝公理化〞方法的實質。其實所謂的公理,只是一些假設,並非不證自明的真理。根據不同的假設,便可建立不同的公理系統,創立不同的幾何分支。由〝定義〞到〝公理〞再到〝定理〞的階梯,便是公理化方法的實質。 1899年 希爾伯特出版了《幾何基礎》(Grundlagender Geometrie)一書,再一次造成轟動。這本書不但成為德國最暢銷的教科書,而且廣為翻譯流傳。而希爾伯特的努力也使數學的公理化向前邁進一大步。

  1900年,在巴黎的第二屆國際數學家大會上,希爾伯特 發表了他著名的演說 The Problem of Mathematics 列出新世紀的數學家所應努力解決的 23 個問題,這 23 個問題被稱為 Hilbert's Problems ,包含了連續統假設、哥德巴赫猜想、黎曼假設、Dirichlet's Principle 的推廣等。這些問題半數以上都已在這個世紀解決,而每當有 希爾伯特's Problem 被解決,都是數學界驚天動地的大事。

   希爾伯特不只是個偉大的數學家,也是個偉大的教育家。他的演講風趣幽默,而且由於他的研究成果豐碩,課程中總穿插一些他最新的研究成果,把學生深深地吸引住了。 他的課經常有幾百人,有時連窗台也坐滿了人。許多青年僅僅因聽了 希爾伯特 幾堂課、或者看了他的幾本數學著作,便深深地被數學所吸引,把畢生的精力獻給了數學。他還組織了數學討論班讓學生自由參加,定期進行數學報告活動,互相交流研究心得。他本人也常把最新研究成果在討論班上報告,然後讓青年人接著做下去。他們形成了一個團體,一篇篇論文由這個討論班中出來。著名的 Hilbert space,便是這個討論班的成果,這個理論後來成為量子理論的數學工具。二十世紀的數學家 Weyl、Blumenthal、Von Neumann 諾貝爾物理獎得主 Von Laue 等,都是他的學生。

  僅管希爾伯特此時的研究成果已經足以確立他在數學上的崇高地位,但是一個優秀的數學家總不會滿足於已有的成就,他一直不斷地在一個個新領域中進行開拓的工作。他四十年的教書生涯裡,除了最後一年外,沒有開過重覆的課程。每年的課程,都隨著他最新的研究而不同。他和他的學生們研究了積分方程,創立了 Hilbert Space 的算子譜理論。在推廣積分方程的應用中,他接觸到了許多物理問題,又忍不住想用公理化方法去解決物理中的混亂狀態。他完成了輻射理論公理化的工作,對量子力學和熱力學的公理化也做了很多有益的工作。

  1915年 Einstein 發表了廣義相對論,幾乎同時希爾伯特也得出了廣義相對論的場方程 (field equations)。如同 Newton 和 Libnitz 各自獨立發展出微積分。然而僅管 希爾伯特 的成果可和 Einstein媲美,但他還是承認廣義相對論的創建應歸功於 Einstein。

  二十世紀的二○年代,希爾伯特致力於數學基礎的工作上,當時數學界為了集合論出現悖論焦頭爛額。為了修補這個大漏洞,希爾伯特提出一個計劃,希望能用有窮的推理來研究數學形式系統中的相容性問題。不幸,在1931年 Godel 證明了不可能用數學方法建立數學的相容性,希爾伯特的希望終究沒能實現。

  1930年,68歲的希爾伯特由哥廷根大學退休,他的工作由他的得意門生 Weyl 接任。 1933年,希特勒上台,情勢急轉直下。不久之後,許多猶太科學家被迫離開德國,最後,所有外國籍的教授都被解除職務,瑞士籍的 Weyl 也不例外。此時,密友 Minkowski、Hurwitz、良師兼益友 Klein 都已先他離開人世,曾經盛極一時的數學中心哥廷根,幾乎只剩希爾伯特孤單一人。

  1942 年 1月23日是希爾伯特八十歲生日,哥廷根沒有任何表示,就在這一天,希爾伯特在哥廷根大街上跌倒,從此長臥不起。

  即使他去世了,但是他在1900年在巴黎提出的問題,持續帶給數學進展,影響深遠,像是前幾期介紹的費爾茲獎,很多費爾茲獎得主便是因為在希爾伯特問題上,做出了成果;一些二十世紀新發展的數學領域,也多多少少可由希爾伯特問題窺見其脈絡。

By 振頤

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