A galaktikus egyenlítő és az ekliptika hajlásszöge

A probléma megoldásához először is ismernünk kell a két sík helyzetét az égbolton. Második lépésként a gömbháromszögtan alkalmazásával meghatározható az általuk bezárt szög: az egyes síkokra merőleges vektorok (egységnyi hossz mellett ezek neve normálvektor) egymással bezárt szöge megadja a választ a kérdésre. Ha a rektaszcenzió és deklináció égi koordinátarendszerét kifeszítő éggömbre gondolunk, akkor ez pontosan megfelel az ekliptika pólusa és a galaktikus pólus közötti szögtávolság meghatározásának, hiszen a két pólust pontosan a két sík normálvektorainak döféspontjai jelölik ki az éggömbön.

Az ekliptika síkját az égbolton a Nap látszó mozgása pontosan megadja. Az ekliptikai északi pólus koordinátái: 17^h59^m59,75^s +66^o33'15,2", ami fokokra váltva α _ekl=269,9989^o (azaz 270^o), ill. δ_ekl=66,554^o (ezek az értékek egyébként természetes módon következnek a Föld forgástengelyének kb. 23,5 fokos dőlésszögéből és a koordinátarendszerek definícióiból).

A galaktikus fősík pontos helyzetének meghatározásához csillagszámlálásokra és statisztikai vizsgálatokra is szükség volt, ezek eredményeként az északi galaktikus pólus koordinátái: 12^h51^m26,27616^s +27^o07'41.87", azaz fokokban α_gal=192,85948^o, δ_gal=27,12829^o.

Ezek után el kell képzelni (fel kell rajzolni) egy gömbháromszöget, melynek mindhárom oldala gömbi főkör része. Ezt úgy a legegyszerűbb, hogy vesszük az északi égi pólust (P, δ=90^o), az ekliptikai pólust (E), ill. a galaktikai pólust (G). Nevezzük ezt GPE háromszögnek.

A GP oldal hossza 90^o–δ_gal, jelöljük ezt b-vel; a PE oldal hossza 90^o–δ_ekl, jelöljük ezt c-vel; a GE oldal hosszát jelöljük a-val, ez a kérdésre a válasz.

A b és c oldal közötti szöget jelöljük α-val. A háromszög definíciójából következően ez pontosan α _ekl–α _gal.

A gömbháromszögtani oldal cosinustétele alapján:

(1)        cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α

A fent megadott értékeket kiszámítva, majd a (1) képletbe behelyettesítve megkapjuk az eredményt: a Galaxis fősíkja és az eklipkika egymáshoz képest kb. 60^o12'-es, azaz 60,2 fokos szöggel hajlik.