Les instruments du calcul savant > Instruments d'intégration conservés au musée des arts et métiers

Spiralenzeichner

Instrument zum Zeichnen der logarithmischen Spirale, nach Abdank-Abakanowicz
Hersteller: unbekannt; Instr.-Nr.: keine (vermutlich Einzelstück); Baujahr: um 1885 (geschätzt)
Standort: CNAM, Inv.-Nr. 13300-0005-
Sonstiges: Zugang CNAM: 1900
Literatur: Abdank-Abakanowicz 1886, 135-137 und Abdank-Abakanowicz 1889, 8-9 (jeweils mit Abbildungen)

Spirograph von Abdank-Abakanowicz, um 1885, CNAM 13300-0005

Das Zeicheninstrument für die logarithmische Spirale ist eine unmittelbare Umsetzung des Prinzips der Schraube mit veränderlicher Ganghöhe. Der Zylinder besitzt unendlichen Radius, ist also zur Zeichenebene geworden. Die Rolle ist als solche mit scharfem Rand ausgestaltet; sie ist in einem beweglichen Wagen längs einer Geraden verschiebbar und ihr Anstellwinkel kann an einer Skala zwischen -90° und +90° eingestellt werden. Das Instrument ist um den Mittelpunkt der Platte K, den sogenannten Pol des Instruments, drehbar gelagert; der (hier unmathematisch) im Uhrzeigersinn gezählte Winkel, den das Gesamtinstrument gegenüber einer beliebigen Ausgangs- oder Ruhelage einnimmt, sei mit bezeichnet.

Fig. 90, Abdank-Abakanowicz 1886, 137

Wird der Wagen ganz nach links geschoben, dann der Anstellwinkel (z. B. wie in der Zeichnung) festgelegt, und schließlich das Instrument an seinem Griff L im Uhrzeigersinn um den Pol gedreht (wobei also von der Ausgangslage an beständig zunimmt), so muß die sich in das Papier "eingrabende" Rolle ihre Richtung stets beibehalten. Ihre Stellung relativ zur Bewegungsrichtung ist aber um den Winkel schräg, was entsprechend des Vorgangs bei der Schraube mit veränderlicher Ganghöhe dazu führt, daß neben der Rollbewegung auf dem Papier auch eine seitliche Ausweichbewegung erfolgen muß (denn sonst müßte die Rolle bei ihrer Bewegung über das Papier auch gleiten, was ihr aber wegen des scharfen Randes nicht möglich ist). Diese Ausweichbewegung wird durch die Beweglichkeit des Wagens ermöglicht; sie entspricht bei der Schraube mit veränderlicher Ganghöhe der Längsverschiebung des Zylinders. Der Wagen bewegt sich also proportional zum Sinus des Anstellwinkels , d. h. zu , und natürlich auch proportional zum während der Drehung des Gesamtinstruments von ihm zurückgelegten Bogen s, nach rechts auf L zu. (Man beachte, daß gegenüber der Schraube mit veränderlicher Ganghöhe hier die Rollen von Sinus und Cosinus vertauscht sind.)

Für die Bestimmung der durch die Spur des Schneidenrads erzeugten Kurve muß man kleine ("infinitesimale") Veränderungen dr und betrachten. Befindet sich das Schneidenrad in der Entfernung r, und wird das Instrument um einen kleinen Winkel gedreht, so ist die Länge s des erwähnten Bogens gleich , die Änderung dr der Entfernung des Wagens vom Pol also proportional zu . Da und mit ihm auch fest eingestellt, also konstant sind, gilt , k eine Konstante. Dies ist eine Differentialgleichung, die sich nach sogenannter Trennung der Variablen (also separatem Zusammenfassen aller mit r und aller mit verbundenen Größen auf je einer Seite der Gleichung) schreibt. Integration beider Seiten liefert dann

, also

(C ist eine Integrationskonstante, a = e^C). Dies ist aber die genau die Gleichung der sogenannten logarithmischen Spirale in Polarkoordinaten, wobei r(0) = a ist. Will man diese Kurve nicht nur durch die Spur des Schneidenrads erhalten, sondern tatsächlich gezeichnet haben, müßte man den Zeichenstift genau dort plazieren, wo sich das Schneidenrad befindet - was unmöglich ist. Daher bleiben zwei Alternativen: entweder findet man eine Konstruktion, die - vom Wagen gesteuert - jeweils einen Punkt liefert, der ebenfalls eine logarithmische Spirale beschreibt, oder man betrachtet irgendeinen festen, vom Auflagepunkt des Schneidenrads verschiedenen Punkt auf dem Wagen und dessen Weg. Die erste Möglichkeit gibt es, sie ist aber technisch nur sehr aufwendig zu realisieren; daher entschied sich Abdank-Abakanowicz für die zweite Lösung. Wird eine Zeichenfeder z. B. im Punkt E angebracht, der um die Strecke b vom Auflagepunkt des Schneidenrads entfernt ist und sich auf der Instrumentenachse befindet, so wird von ihm die Kurve

beschrieben. Sie kann im Prinzip genau so benutzt werden wie die logarithmische Spirale, die zu Abdank-Abakanowicz' Zeiten beim sogenannten "Graphischen Rechnen" eine wichtige Rolle spielte. Sie wurde eingesetzt, wenn zu einer Strecke der Länge r mit graphischen Methoden eine Strecke gesucht wurde, deren Länge ln r betragen sollte.

Die nachfolgende Abbildung aus der deutschen Ausgabe des Buchs von Abdank-Abakanowicz zeigt das Aussehen der "um b verschobenen" logarithmischen Spirale deutlicher, weil vollständiger, als die eingangs wiedergegebene Abbildung aus der französischen Erstausgabe:

Fig. 7, Abdank-Abakanowicz 1889, 8

An diesem Instrument zeigt sich übrigens sehr schön, daß der durch das Zusammenspiel von Schneidenrad und Zeichenfläche gefundene Integriermechanismus "eine Differentialgleichung löst". Die (in unserem Fall besonders einfache) Differentialgleichung selbst wird durch die "Form" des Geräts bestimmt. Man kann also erwarten, daß unter Benutzung des Schneidenrads die Lösung weiterer Differentialgleichungen möglich wird; man muß "nur" Mechanismen finden, deren Form die gewünschte Differentialgleichung "darstellt". Neben den Integraphen nach Abdank-Abakanowicz, die die (triviale) Differentialgleichung y' = f(x) durch Zeichnen graphisch lösen, wurden auf dieser Basis zahlreiche sogenannte "Integratoren" für bestimmte Typen von Differentialgleichungen insbesondere von Ernesto Pascal (1865-1940) zu Beginn des 20. Jahrhunderts konstruiert.