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Nicht selten erhalten wir folgende Frage: "Bitte senden Sie mir eine einfache aber genaue Formel zur Berechnung von Sonnenaufgang und Sonnenuntergang". Die Begriffe "einfach" und "genau" widersprechen sich. Im Folgenden versuchen wir, einen brauchbaren Kompromiss zwischen "einfach" und "genau" zu finden. Die erreichte Genauigkeit wird bei wenigen Minuten liegen - genau genug für die Auf- und Untergangszeiten der Sonne.
Hinweis: Wir haben zwei weitere Software-Versionen für die Berechnung von Sonnenauf- und -untergang für Sie bereit.
Beide sind ausführlicher und genauer als das auf dieser Seite dargestellte, wirklich einfache Programm.
» Zur Version 2005 (genauer, da auch das Jahr berücksichtigt wird)
» Zu einem noch etwas genaueren Programm (umfangreiche Berechnungen, auch für den Mond)
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» Hier gibt es ein Java-Script, das die Formeln von dieser Seite anwendet und auch gleich noch Höhe und Azimut der Sonne auf einfache Weise berechnet.
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Zunächst müssen ein paar Hilfsmittel bereitgestellt werden. Im Folgenden wird auf ein paar grundsätzliche Eigenschaften der scheinbaren Sonnenbewegung am Himmel eingegangen.
Traditionell basiert unsere Zeitrechnung auf dem (scheinbaren) Lauf der Sonne. Erst in moderner Zeit wurden Zonenzeiten und Atomuhren eingeführt. Wenn die Sonne genau im Süden steht, ist es 12 Uhr Mittags (sogenannte Ortszeit). Die Zeit zwischen zwei Mittagen beträgt genau 24 Stunden. Zumindest sollte es so sein, doch gibt es Abweichungen.
 Fig. 1 Zeitgleichung: Differenz zwischen wahrer und mittlerer Ortszeit in Minuten. © R. Brodbeck. |
Die Erde dreht sich in 23 Sunden und 56 Minuten einmal um ihre eigene Achse. Die restlichen 4 Minuten bis zur Erreichung der vollen Länge des Tages von 24 Sunden erklären sich dadurch, dass wir im Laufe des Tages etwas auf der Umlaufbahn der Erde um die Sonne vorangekommen sind. Deshalb steht die Sonne in einer leicht anderen Richtung. Die Erde muss sich noch 4 Minuten (ca. = 24 Stunden / 365) lang weiter drehen, bis für den gleichen Ort die Sonne wieder genau im Süden steht.
Die Neigung der Erdbahn und die leichte Exzentrizität der Erdbahn bewirken, dass die wahre Taglänge (Zeitspanne zwischen Mittag und dem folgenden Mittag) um den Mittelwert 24 Stunden schwankt. Man denkt sich eine mittlere Sonne, die scheinbar entlang des Himmelsäquators mit konstanter Geschwindigkeit läuft. Für einen vollständigen (scheinbaren) Umlauf um den Himmelsäquator benötigt diese mittlere Sonne wie die reale Sonne ein Jahr. Die mittlere Ortszeit bezieht sich auf diese mittlere Sonne.
Eine mechanische (oder elektronische) Uhr läuft gleichmässig: Jeder Tag hat 24 Stunden. Deshalb kann eine solche Uhr nur die mittlere Otszeit anzeigen. Die wahre Sonne kann bis zu 15 Minuten zu früh oder zu spät im Süden stehen als die gedachte mittlere Sonne. Diesen Unterschied wird Zeitgleichung genannt. Die Zeitgleichung kann auch als Unterschied zwischen einer die Ortszeit anzeigenden mechanischen Uhr und einer Sonnenuhr verstanden werden.
Die Bewegung der Erde um die Sonne ist genau betrachtet eine komplizierte Angelegenheit. Selbst wenn die Erde der einzige Planet wäre, hätte es mit einer nur numerisch (d.h. nur durch spezielle Näherungsverfahren) lösbaren Gleichung zu tun. Die Erdbahn erfährt zudem noch kleine Störungen durch die anderen Planeten. Dies alles zu berücksichtigen, würde die eingangs gestellte Forderung nach Einfachheit verletzen.
Wir müssen deshalb einen anderen Weg gehen. Dieser besteht darin, dass wir durch die genauen Werte der Zeitgleichung eine Näherungskurve legen. Wenn man sich die in Fig. 1 als Funktion der Tagnummer dargestellte Zeitgleichung ansieht, so kann man sich zwei sich überlagernde harmonische Schwingungen vorstellen. In der Tat lässt sich damit mit der folgenden, aus zwei harmonischen Schwingungen zusammengesetzten Formel die Differenz zwischen Wahrer Ortszeit (WOZ, Sonnenuhr) und mittlerer Ortszeit (MOZ) auf besser als eine Minute genau annähern:
Zeitgleichung:
| WOZ - MOZ = -0.171*sin(0.0337 * T + 0.465) - 0.1299*sin(0.01787 * T - 0.168) |
wobei T die Tagnummer darstellt. Der erste Januar hat die Nummer 1, der zweite Januar die Nummer 2 usw. Das Ergebnis wird in Stunden ausgegeben, und nicht etwa in Minuten.
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Hinweis: Stellen Sie bitte Ihren Taschenrechner auf Bogenmass (rad/radians/RAD) um, oder multiplizieren Sie die Werte in den Klammern jeweils vor dem Drücken der sin-Taste mit 57.29578. |
Die oben stehende Formel für WOZ - MOZ entstand aus einer mehrfachen Parameteroptimierung (Ausgeglichen nach der Methode der kleinsten Quadrate) durch die Tabelle der täglichen Mittelwerte der Jahre 2008-2027. Um das Ziel der Einfachheit zu erreichen, wurde eine Modellfunktion mit so wenig Parameter wie möglich aber so vielen wie nötig verwendet. Natürlich sind dadurch die Werte nicht mehr direkt durch Eigenschaften und Physik der Erdbahn verständlich erklärbar oder herleitbar. Im begleitenden JavaScript-Programm sind die Parameter in voller numerischen Genauigkeit zu finden, die aber eigentlich nicht notwendig sind − die oben angegebenen Stellen lassen die Zeitgleichung nur weniger als 1 Sekunde davon abweichen.
Fig. 2: Die Deklination der Sonne im Jahreslauf. © R. Brodbeck. |
Die Höhe über dem Horizont eines Gestirns beim Passieren der Südrichtung (Meridian) bestimmt, wie lange es über dem Horizont bleibt. Mit der Zeitgleichung kennen wir den Zeitpunkt, zu dem die Sonne im Süden steht (Mittag). Wenn wir noch wissen, wie lange die Sonne über dem Horizont bleibt, können wir die Aufgangs- und Untergangszeit berechnen. Dazu brauchen wir die Deklination der Sonne. Vereinfacht gesprochen ist die Deklination eines Gestirns der Breitengrad über dem das Gestirn im Zenit steht (dies stimmt nicht exakt, weil die Erde keine Kugel ist). Die Deklination der Sonne stellen wir als einfache harmonische Schwingung dar. Im Gegensatz zur Zeitgleichung nehmen wir hier also die Näherung einer kreisförmigen Erdbahn an:
| Deklination = 0.4095*sin(0.016906*(T-80.086)) |
Das Ergebnis ist in Bogenmass. 180 normale Grad = Pi in Bogenmass. Multipliziere Wert in Bogenmass (rad) mit 57.29578 für Ergebnisse in Grad (°), und dividierte einen Wert in Grad (°) durch 57.29578 für Ergegnisse in Bogenmass (rad). Auch hier findet sich im JavaScript die volle numerische Genauigkeit der Parameter. Die oben wiedergegebenen Stellen lassen die Deklination davon maximal 6 Bogensekunden abweichen − dies ist deutlich besser als die angestrebte Genauigkeit.
Die Zeit, die vergeht, bis die Sonne vom wahren Mittag bis zum Erreichen eine bestimmten Horizonthöhe h erreicht, kann durch folgende Formel dargestellt werden. Sie ist exakt für Punkte, deren astronomische Koordinaten (Deklination, Rektaszension) fix sind, und wenn der Einfluss durch die Erdatmosphäre ignoriert wird:
| Zeitdifferenz = 12*arccos((sin(h) - sin(B)*sin(Deklination)) / (cos(B)*cos(Deklination)))/Pi; |
wobei B die geographische Breite des Beobachters bedeuten soll (von Grad in Bogenmass umgerechnet). Wenn das Argument des arccos im Betrag grösser als eins ist, so erreicht die Sonne im Laufe des Tages nie die geforderte Horizonthöhe h. Dies kann z.B. im hohen Norden während der Polarnacht der Fall sein oder während der Zeit der Mitternachtssonne.
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» Hier gibt es ein Java-Script, das diesen Tagbogen, d.h. die Zeitdauer zwischen Aufgang und Kulmination, bzw. Transit bis zum Untergang berechnet! |
Auf- und Untergangszeit in mittlerer Ortszeit:
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Aufgang Ortszeit = 12 - Zeitdifferenz - Zeitgleichung Untergang Ortszeit = 12 + Zeitdifferenz - Zeitgleichung |
Unsere Uhren zeigen jedoch nicht die mittlere Ortszeit unseres Beobachtungsorts an, sondern eine bestimmte Zonenzeit. Diese Zonenzeit ist die mittlere Ortszeit eines bestimmten Längengrades. Die Weltzeit ist z.B. die mittlere Ortszeit von null Grad Länge.
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Aufgang = Aufgang Ortszeit - geographische Länge /15 + Zeitzone Untergang = Untergang Ortszeit - geographische Länge /15 + Zeitzone |
Zeitzone ist die Differenz Zonenzeit - Weltzeit. In Mitteleuropa beträgt diese Differenz während der Winterzeit plus eine Stunde, während der Sommerzeit plus zwei Stunden.
Fig. 3: Sonnenuntergangszeiten und Dämmerung für Zürich in Mitteleuropäischer Zeit, d.h. die Sommerzeit wird nicht berücksichtigt. © R. Brodbeck. |
Fig. 4: Sonnenauf- und Unterganggszeiten sowie Dämmerungen für verschiedene geographische Breiten. Höhere Auflösung. © R. Brodbeck. |
Das Licht der Sonne wird in der Atmosphäre gebeugt. Es läuft besonders in Horizontnähe auf einer leicht zum Boden hin gekrümmten Bahn. Deshalb kann man die Sonne auch noch sehen, wenn sie rein geometrisch schon untergegangen ist. Deshalb wird der Untergang und auch der Aufgang der Sonne für eine geometrische Horizonthöhe h von -50 Bogenminuten berechnet (-50 Bogenminuten sind -50/60°=-0.833° und -50/60/57.29578 rad=-0.0145 rad). Von bürgerlicher Dämmerung spricht man, wenn h= -6° ist, nautische Dämmerung entspricht h = -12° und schliesslich astronomische Dämmerung entspricht h = -18°.
Mit den oben stehenden Formel lassen sich, abgesehen für die Polarregionen Sonnenaufgang und Untergang sowie die Dämmerungszeiten auf besser als 5 Minuten berechnen.
Es soll der Sonnenaufgang für Berlin am 30. Januar bestimmt werden.
Berlin liegt auf 13.5° Ost, 52.5° Nord
30. Januar bedeutet T = 30 (Bruchteile von Tagen zu berücksichtigen
bringt nichts)
(für den 1. Februar wäre T = 32)
B = Pi *52.5° / 180 = 52.5°/57.29578 = 0.9163 rad (Pi=3.14159)
Deklination der Sonne
= 0.4095*sin(0.016906*(30-80.086)) = -0.30677 rad = -17.58°
Sonnenaufgang h=-50 Bogenminuten = -0.0145 rad
Zeitdifferenz
= 12*arccos((sin(-0.0145) - sin(0.9163)*sin(-0.30677)) / (cos(0.9163)*cos(-0.30677)))/Pi
= 4.479 Stunden.
Sonnenaufgang um 12 - 4.479 = 7.521 Uhr Wahre Ortszeit.
Zeitgleichung
= -0.171*sin(0.0337*30 + 0.465) - 0.1299*sin(0.01787*30 - 0.168)
= -0.217 Stunden = WOZ - MOZ
MOZ = WOZ + 0.217 Stunden = 7.738
= 7.838 Uhr in MEZ für Berlin weil 7.838 = 7.738 + -13.5/15 + 1
Die Zeitzone für die Mitteleuropäische Zeit MEZ beträgt +1 Stunde
Also, Sonnenaufgang für Berlin um 7 Uhr 50!
Ein Vergleich mit CalSky.com ergibt 7 Uhr 52 für den Sonnenaufgang.
Das ist OK, mit so einfachen Formeln kann man keine bessere Genauigkeit
erwarten.
Ich hoffe, dieses Zahlenbeispiel hilft bei der Anwendung dieser Formeln. Beachten Sie auch, dass Sie die Formeln bei uns in einem JavaScript anwenden können: » HIER
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Für praktische Anwendungen sind Unterschiede für den Sonnenaufgang um 10-15 Minuten eigentlich nicht relevant, weil die effektive Horizonthöhe selten dem mathematischen Horizont entspricht. Trotzdem haben wir versucht, eine deutlich bessere Genauigkeit zu erzielen. Wie wir sehen werden, müssen wir hierfür aber unseren Gültigkeitsbereich der vorgestellten Formeln reduzieren.
Wie oben erwähnt sind die vorgestellten Parameter der Gleichungen aus einer numerischen Annäherung an Tabellenwerte entstanden. Als Referenz wurden tägliche Mittelwerte für einen Zeitraum von 20 Jahren verwendet. Für 2008 bis 2027 wurden für jeden Tag im Jahr jeweils die Deklination und Zeitgleichung mit Hilfe von CalSky berechnet. Anschliessend wurden die Fehlerquadrate minimiert, um eine numerische Lösung auf Double-Genauigkeit zu erreichen. Die Grafiken rechts zeigen die Differenz zwischen unserer Lösung und den Tabellenwerten.
Uns interessiert schlussendlich die Genauigkeit für Sonnenauf- und Untergang. Deshalb zeigen die untenstehenden Grafiken die Differenz des Sonnenaufgangs zwischen den mit den hier vorgestellten einfachen Formeln berechneten Zeiten und einem 10-Jahresmittel von CalSky (2008-2017).
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Mit den Formeln bleibt der Fehler in den mittleren Zeiten von Sonnenauf- und Untergang bis zu Breiten von 65° also unterhalb von 5 Minuten. In den Fehlergrafiken ist eine Unschönheit unserer Berechnung zu erkennen: Die Sonnenaufgangszeit springt zwischen dem 31. Dezember und dem 1. Januar um nahezu den doppelten maximalen Fehler. Dies kommt daher, dass wir in der numerischen Lösung die Periode nicht auf die Länge eines Jahres fixiert hatten. Macht man dies, werden die Fehler deutlich grösser und die einfache Methode wird nahezu unbrauchbar.
Aber halt − mittlere Zeiten? Genau. Bei unseren Berechnungen ignorieren wir nämlich das Jahr und somit auch die Schalttage. Deshalb ist es sinnvoll, unsere Formeln an mittlere Werte anzupassen. Es ist deshalb wichtig zu wissen, wie stark die Sonnenaufgangszeiten von Jahr zu Jahr variieren. Um dies näher zu betrachten haben wir mit CalSky von geografischen Breiten von 0° bis 65° Nord für jeden Tag der Jahre 2008-2017 die Aufgangszeiten berechnet. Die folgende Grafik zeigt die maximale Abweichung die während eines Tages der 10 Jahre vom 10-Jahresmittel beobachtet wurde, und dieser Fehler wurde in Abhängigkeit der geografischen Breite aufgezeichnet.
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Am Äquator ist die Abweichung des mittleren Sonnenaufgangszeitpunkts vom effekiven Zeitpunkt vernachlässigbar (maximal 30 Sekunden Fehler). Bei 53.5° Nord beträgt der Fehler 2 Minuten und wächst gegen den Polarkreis rasch an: bei 61.5° Nord bereits 3 Minuten, bei 65° Nord 4 Minuten. Dies bedeutet, dass auch die beste Methode, welche das Jahr nicht berücksichtigt, mit mindestens diesem Fehler behaftet wäre. Der totale maximale Fehler für unsere Methode ist die Summe der beiden Fehlerwerte. Für 65° Nord also 5+4=9 Minuten, bei 47.5° Nord beträgt der totale maximale Fehler nur 3 Minuten, im Mittel ist unsere Berechnung sogar besser. Folglich sollten diese Formeln nicht nördlicher als 65° Nord und nicht südlicher als 65° Süd eingesetzt werden.
Zahlreiche Leser haben sich durch unsere kleine Formelsammlung mit dem Problem der Berechnung des Sonnenlaufs beschäftigt. Dabei wurden diese Formeln in zahlreiche Programmiersprachen übertragen. Einige dieser Beispiele möchten wir hier ungeprüft(!) weiterreichen.
Vor dem Kontakt zum Autor: Sie sind nicht der Erste, der sich unabhängig mit der Berechnung vom Sonnenlauf und unseren Formeln auseinandersetzt. Auch das JavaScript arbeitet ja praktisch genau mit diesen Formeln. Sind Sie sicher, dass Ihr Taschenrechner für sin und cos auf Bogenmass (rad) umgestellt ist? Haben Sie daran gedacht, dass das Ergebnis der Zeitgleichung Stunden sind (z.B sind 0.25 Stunden = 15 Minuten)?
Haftungsausschluss: Der Autor übernimmt keine verbindlichen Garantien für die Anwendbarkeit und Richtigkeit der in diesem Artikel angegebenen Formeln. Man vergleiche die Ergebnisse auf jeden Fall zuerst mit anderen Berechnungen, z.B. mit den online abfragbaren Auf- und Untergängen von CalSky!
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