Un analitzador diferencial o integrador mecánic es un dispositiu de calcul que es va fer servir molt per resoldre problemes matemátics d'equacions diferencials entre els anys 30 i els 50, fins que va quedar obsolet al ser desenvolupats el métodes de cálcul numeric amb ordinadors.
El Meccano ha estat lligat desde el començament amb aquestes màquines, desde que el 1934 el departament de matemàtiques de la universitat de Manchester en va fer un model que va sorprendre al resultar tan útil com els "de veritat". S'han censat 12 universitats del mon que han utilitzat algun cop analitzadors fets amb Meccano. Avui dia alguns professors universitaris proposen la construcció d'un analitzador com a projecte als seus estudiants. Hi ha aficionats avançats que n'han fet models simplificats, a l'abast dels modelistes.
Que es un analitzador diferencial?
L'analitzador diferencial es un dispositiu analógic de calcul que permet de calcular integrals de funcions i d'aquesta manera resoldre equacions diferencials. Us sona extrany? Anem per parts..
Qué vol dir analógic?
Un dispositiu analógic fa servir els valors de magnituds fisiques (distancia, velocitat de gir, tensió) per representar les variables amb les que treballa. Amb aixó s'oposa als dispositius digitals que treballen amb les xifres dels valors numérics . Cal molta precisio en els dispositius analogics ja que qualsevol variació d'alguna de les magnituds físiques, (joc, lliscament, caiguda de tensió) representa un error en els cálculs. Els calculadors digitals no pateixen de variacions i la seva precisió es constant i depen només de com están programats. Per aquest motiu el digital ha desplaçat l'analógic.
Nota: Hem d'advertir aqui que l'analitzador diferencial no te res a veure amb la “máquina diferencial” (differential engine) de Charles Babbage, que es un dispositiu mecánic digital, i es tota una altra história.
Que es una integral ?
L'exemple de la velocitat i el recorregut:
La velocitat d'un cotxe es pot calcular com a espai recorregut dividit pel temps. Si fem aquesta divisió trobarem la velocitat mitja que hem mantingut durant un recorregut. En condicions normals de tráfic, es segur que no haurem mantingut una velocitat constant. Com sabem la velocitat a cada moment? De la mateixa manera, dividint l'espai recorregut en unt temps molt curt per aquest temps. D'aquest cocient en que el divisor es molt petit els matemátics en diuen derivada, i podem dir que la velocitat es la derivada de l'espai respecte al temps.
En un cotxe, per conèixer l'espai recorregut nomes ens cal comptar les revolucions de les rodes i saber-ne la circumferencia . Pero, que passa en un avió volant sobre l'oceà i sense GPS, en el que nomes podem mesurar la velocitat? Caldrá fer servir el “compte de la vella”, multiplicar a cada moment la velocitat mesurada durant un temps molt curt per aquest temps per obtenir la distancia recorreguda en cada petit interval i sumar aquestes per obtenir el recorregut total. D'aquest proces de suma s'en diu integrar la derivada.
L'exemple del volum d'un diposit
Hem posat com a exemple d'una variable i la seva derivada l'espai recorregut i la velocitat. N'hi han molts d'altres, per exemple, heu intentat calcular la quantitat de liquid que hi ha en un diposit cilindric horitzontal, coneixent el nivell del liquid? Cal coneixer la secció horitzontal del dipósit a cada alçada, aquesta secció es la derivada del volum respecte a la alçada. Integrant la derivada desde el fons fins la superficie sabrem el volum.
Per qué un analitzador?
Si la velocitat (la derivada) la podem posar de forma senzilla en una equacio, podem obtenir l'espai (la integral) de forma analítica, anàlogament a com es resolen les equacions senzilles, reorganitzant la equació en components que podem trobar en taules d'integrals. Aquest procediment dona una solució exacta, pero no sempre es aplicable.
Si la derivada segueix una equació intractable analíticament o nomes en tenim un gráfic i no una equació, per calcular la integral caldrá retornar al “compte de la vella” que hem descrit ,es a dir calcular productes unitaris i sumar-los. Ho podem fer manualment, o fer servir metodes mecánics o digitals.
De la equació que inclou derivades en els seus termes en diem eqüació diferencial.
Com funciona l'analitzador? :
L'analitzador diferencial dels anys 30 fa servir uns plats que giren a velocitat constant per representar la variable respecte a la que s'integra (el temps en el nostre primer exemple)
Tenim un dispositiu d'entrada que porta la corba de la derivada retallada en un material solid. Aquesta corba es seguida per una lleva, que mou radialment sobre el plat giratori una rodeta que girará mes rapid com mes lluny del centre del plat es trobi.
La distancia recorreguda per la roda girant sobre el plat es proporcional a la integral de la corba que hem seguit amb la lleva. Nomes caldrá portar aquesta distancia a un traçador de corbes per tenir la funcio integrada, o comptar.ne les voltes per obtenir el valor de la integral.
Complicacions:
Un sol plat integrador nomes permet calcular equacions molt senzilles que un matemátic resoldría analiticament. Per aixó la maquina de Vannevar Bush tenia sis discs integradors connectats a un “bus” d'eixos que permetia d'interconnerctar els diferents integradors de moltes maneres, per tal d'adaptar la maquina a la equacio a resoldre, per complicada que fos.
Un altre problema es el de la precisió. La rodeta que gira sobre el plat i calcula la integral pot lliscar si ha de moure un traçador de corbes o desplaçar la roda d'un segon integrador. Per aixó es fa servir un dispositiu amplificador de par. També calen dispositius que compensen el joc dels engranatges, quan aquests han de canviar de sentit durant el cálcul. No va ser fins que als anys 30 del segle XX es va trobar una solució a aquests problemes mecánics quees van poder començar a construir analitzadors diferencials precisos.
História:
L'integrador mecánic es un invent del segle dinou. El primer exemplar conegut es un dispositiu d'un sol us: el planimetre, que permet calcular una superficie sobre un planell o mapa recorrent-ne el contorn amb un cursor. Es pot demostrar matematicament que la distancia recorreguda per una roda- unida per una articulació a un punt fixe del pla - al seguir el perimetre d'una superficie es proporcional a aquesta. Els planimetres encara es fan servir quan no es disposa de planells i mapes informatitzats.
La primera descripció d' un integrador d'us general va ser publicat per el frances Gaspard de Coriolis el 1822. Mes tard els cientifics anglesos germans James i William Thomson el van desarrollar. En William Thomson, mes conegut com a Lord Kelvin, va publicar el 1872 el treball que es considera l'origen de l'analitzador diferencial. Va construir diferents dispositius sobre aquest principi, un calculador de marees i l'analitzador harmónic.
No va ser fins que es va inventar l'amplificador de par a principis dels anys 30 que Vannevar Bush, del MIT, va poder construir el primer analitzador mecánic d'us práctic. El seu analitzador tenía sis plats integradors que podien interconnectarse entre ells i amb el dispositiu d'entrada mijançant un bus d'eixos que recorria tota la máquina. Tambe en va inventar el nom actual, analitzador diferencial. Altres universitats van fer-se construir analitzadors, com el de Cambridge (a la foto), fabricat per Vickers.
Els Srs Hartree i Porter, de la universitat de Manchester, amb menys pressupost, van decidir fer un model Meccano de l'analitzador. El model va donar resultats prou acurats i va ser difós mundialment per Meccano Magazine en un article de juny de 1934. Aixó va fer que moltes universitats amb pressupostos limitats construissint les seves máquines amb Meccano. En Tim Robinson, expert en maquines de calcular mecániques, n' ha censat fins a dotze a la seva web.
Aquests dispositus, fossin fets amb Meccano o no, van tenir un us intensiu durant tots els anys 30, 40 i principis dels 50.
Hem trobat a internet una minima informació sobre una contribució espanyola al tema, la del professor Leonardo Torres Quevedo, que a mes de publicar una important monografia sobre el cálcul mecánic, va construir un integrador als anys 30 que diuen que es conserva al museu de la la ETS de Ingenieros de Caminos de la Universidad Politécnica de Madrid.
Els calculadors mecánics de direcció de tir per la artilleria naval van ser inventats durant la Primera Guerra Mundial i emprats en quantitat a la Segona Guerra Mundial. Feien servir integradors mecánics de disc com a part del seu mecanisme. Permetien ajustar l'angle de tir i el retard del detonador per tirs contra vaixells en moviment a mes de 20 km de distancia, amb un temps de recorregut del projectil fins al blanc de prop d'un minut i compensant el vent i el balanceig del vaixell. No es un cálcul senzill, i cal fer-lo rápid, abans de que ens disparin a nosaltres....
Als anys 50 la NACA (institució precursora de la NASA) feia servir encara analitzadors electro-mecánics, mes avançats i compactes que els dels anys 30 i fabricats industrialment, per fer calculs d'aerodinámica.
En el moment en que l'ordinador, mes versátil i rápid, va començar ser asequible l' us de l'analitzador va començar a decaure. Avui en dia els analitzadors diferencials son peces de museu, que podem trobar exposats arreu del mon.
Existeix també l'analitzador diferencial digital (DDA). Fins fa un vint anys aquest terme feia referencia a un ordinador electrónic especialitzat, dissenyat expressament per resoldre equacions diferencials. Avui dia aquest terme fa referencia a un programari de simulació que corre en un ordinador d'us general.
Al cine:
Com a cosa curiosa, l'analitzador diferencial va apareixer en diverses pel.licules “de marcians” dels anys 50, entre elles Destination Moon (1950) , When worlds Collide (1951) i Earth vs. The Flying Saucers (1956). Al cine els analitzadors podien fer coses sorprenents com traduir del “marcià” a l'angles o coses mes adients a les seves prestacions com calcular el moviment i predir la col.lisio d'un asteroide contra la Terra i per tant, la fi del mon. A començaments dels 50, l'ordinador electrónic encara no feia seriós com a arma absoluta contra els marcians.
En la actualitat
Algunes universitats segueixen proposant l'analitzador com a projecte educatiu als seus alumnes, utilitzant el Meccano com a font de peces de precisió i normalitzades. El fet de que funcioni segons principis fisics senzills i no calguin coneixements de programació per tal de configurar-lo en fan una eina molt útil per a l'ensenyament dels principis básics del calcul diferencial.
En aquest sentit coneixem gracies a Internet els treballs del professor Tim Robinson de la Universitat de California, el de la la professora Bonita Lawrence de la universitat Marshall de Huntington, o el del Simpson College,de Indianola, Iowa tots als Estats Units.
Alguns aficionats al Meccano han construit versions reduides d'aquestes máquines, en coneixem entre d'altres els exemples d' en Ron Fail, amb dos plats integradors o el de Peter Holtham, amb un sol plat (un CD!) i uns pocs motors A770 com a font d'energia. El de la foto el va construir William Irwin, i el veiem exposat a Auckland el 2005.
El museu del transport de Nova Zelanda (MOTAT) exposa una de les maquines que es van construir amb Meccano als anys 30. Els membres de la Auckland Meccano Guild colaboren en las seva restauració i conservació.
On puc trobar-ne planells per fer-ne un?
Si voleu uns planells per construir un analitzador diferencial amb Meccano us caldrá fer servir el vostre anglés:
La Midlands Meccano Guild Gazette (MMGG) d' Abril del 93 va publicar els planells de la màquina de Ron Fail.
Hi ha un CD de recopilacio de la MMGG que inclou aquest model amb informació adicional.
Hi ha uns planells mes antics, de l'any 1967 al numero 4 de la serie dels GMM Modern supermodels.
La font mes habitual per obtenir aquest tipus de publicacions es MW Mail Order. En el cas del butlletí de la MMG podeu provar també amb aquest club.
Agraiments:
L'article no hagues estat complet sense les amables indicacions dels usuaris de la llista de correu especialitzada en Meccano Spanners, i del Sr William Irwin, de Nova Zelanda.
Enllaços:
En català:
Video del Departament d'Ensenyament sobre el cálcul analógic.
En castellá:
Article sobre analitzadors diferencials a la inevitable Wikipedia
La entrada a la historia de la informatica de la Universidad Politécnica de Madrid
Article al Foro Segunda Guerra Mundial
Article al blog de Felix Maocho
En francés:
Diferents articles sobre la historia dels metodes d'integració mecanics.
En anglés:
La pagina de Tim Robinson, potser la referencia mes completa, amb una extensa bibliografía.
Una altra descripció
Videos de l'analitzador Meccano dels anys 30 conservat al MOTAT de Auckland, Nova Zelanda, l'enllaç es al primer, n'hi ha tres.
Article sobre l'analitzador a la web de la Auckland Meccano Guild, que está col.laborant en la restauració del del MOTAT
Article al Meccano Magazine de Juny de 1934 sobre l'analitzador de Hartree i Porter a la Universitat de Manchester.
Un analitzador Meccano modern utilitzat com a eina pedagogica a la universitat Marshall (Huntington, West Virginia, EUA)
http://www.marshall.edu/math/DAlab.asp
http://www.youtube.com/watch?v=NmX151Jd3_o
Un altre analitzador Meccano fet per estudiants del Simpson College (Indianola, Iowa, EUA)
Utilitzat amb molta imaginacio a la pelicula “La Terra contra els plats voladors” de 1956
Pelicula de la Marina nordamericana per a la formació dels operadors dels calculadors de direcció de tir. Dividida en 7 parts per raons d'espai, aquesta es la primera
Manual del calculador de direcció de tir Mark I
El llibre Computing Before Computers dels autors W. Aspray, A. G. Bromley, M. Campbell-Kelly, P.E. Ceruzzi i M. R. Williams es disponible a la xarxa. Al Capitol 5 el Sr Bromley parla dels dispositius analógics de cálcul, entre ells hi ha l'analitzador diferencial.
Models construits per aficionats
Peter Holtham fa servir un CD com a únic disc integrador i uns pocs motors A770 a piles.
Un article holandes que inclou fotos d'analitzadors fets amb FAC, el sistema suec per models de precissió.
Video de l'amplificador de par construit pel company Jordi Vallés
