4.2.2. Логіка предикатів

Логіка предикатів розділ класичної символічної логіки, що вивчає суб'єктно-предикатну структуру висловлювань, на підставі чого визначають значення істинності висловлювань; по-іншому - це дедуктивна теорія, яка моделює процес виведення одних висловлювань із інших, враховуючи їх структуру. Логіку предикатів трактують як розширення логіки висловлювань через виявлення внутрішньої структури висловлювань і введення нових термінів та системи аксіом.

Логіка предикатів як система створюється відповідно до загальних принципів побудови формальних систем (див. '1.1). Особливість логіки предикатів полягає в тому, що вона є складнішою і за семантикою, і за синтаксисом порівняно з логікою висловлювань. Розрізняють семантику та синтаксис логіки предикатів.

У семантичному аспекті визначають суб'єктно-предикатну структуру висловлювань на змістовному рівні. Це дає змогу виявити властивості, притаманні певній сукупності емпіричних або абстрактних об'єктів, і ввести терміни, котрі відокремлюють сферу дії предикатів, - висловлювання, властивість, відношення, предикат, одномісний предикат, багатомісний предикат, квантор загальності, квантор існування, істиннісне значення висловлювання.

Висловлюванню, в якому емпіричному чи абстрактному об'єктові приписують певну властивість Р або визначаються відношення між об'єктами, надають два значення істинності: "істина" (і); "хибність" (х). Відповідно, логіка предикатів - двозначна за кількістю значень істинності висловлювань.

У синтаксичному аспекті суб'єктно-предикатну структуру висловлювань визначають у процесі абстрагування від їх змісту та формалізують засобами штучно створеної мови, на підставі чого здійснюють логічні операції над символами, що зображають ці відношення (числення предикатів).

Структура логіки предикатів (ЛП) - алфавіт, правила побудови формул із символів алфавіту, правила дедуктивного виведення з аксіом нових формул (доведення теорем), правила інтерпретації.

Мова логіки предикатів - це система символів, що створюють алфавіт. До нього належать символи, введені в логіці висловлювань, і нові символи, які позначають терміни, введені в логіці предикатів.

Алфавіт:

- символи, що позначають елементарні (прості) висловлювання (формули, формальні вирази) Р, Q;

- символи, які позначають істиннісні значення висловлювань - "/", V;

- символи, що позначають предметні (індивідні) змінні - х, у, г,... п (множинність предметних змінних може бути безмежною);

- символи, які позначають предметні константи (постійні) - а, в, с, а*,... п;

- символи, що позначають д-місні предикати - Р, і?, РҐ Р Р o

- символи, котрі позначають предметні функції - Рі9 Р2, Р (верхній індекс позначає місність предметних функцій, а нижній визначає їх кількість);

- символ, що позначає терм г;

- символ, який позначає предикатну змінну X;

- символ, що позначає відношення предикації <=;

- символ, який позначає квантор загальності V;

- символ, що позначає квантор існування 3;

- символи, котрі позначають пропозиційні зв'язки (логічні сполучники, логічні постійні): кон'юнкція л, диз'юнкція v, імплікація ->, еквівалентність =, заперечення ->;

- технічні символи: ( - ліва дужка; ) - права дужка.

Визначимо смисл термінів, що створюють специфіку логіки предикатів, і символічно зобразимо їх штучною мовою.

Терм - будь-яка предметна константа чи предметна змінна.

Предикат (предикатор) (лат. - термін, що в традиційній логіці означає властивість, притаманну суб'єктові 5. Позначають символом Р. Зв'язок суб'єкта з предикатом виражається формулою 5 є Р.

У логіці предикатів термін "предикат" двоякий за смислом: 1. Властивість. 2. Відношення.

1. Властивість (якість, ознака, характерна особливість, атрибут) - все, що притаманне предметам, явищам, процесам об'єктивного світу, подіям і відбувається у світі як їхня сутнісна та специфічна особливість. Позначають терміном "одномісний предикат".

Одномісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає властивість. Відношення між об'єктом і його властивостями називають відношенням предикації, яке визначають через поняття "одномісна про позицій на функція", "одномісний предикат". Мовою логіки предикатів це означає встановлення відношення між терміном, що позначає емпіричний об'єкт, і терміном, що позначає абстрактний об'єкт, який виражає властивість Р, притаманну емпіричному об'єктові. Термін "емпіричний об'єкт" визначають як предметний (індивідний) концепт, термін "абстрактний об'єкт" - як предикатний концепт, а відношення між ними - як двомісне відношення у структурі певного висловлювання. Формальний вираз такого відношення "х <= X", де "я" - предметна змінна для термінів, що позначають емпіричний об'єкт; "X" - предикатна змінна для термінів, що позначають абстрактний об'єкт; <= - символ предикації. Приклад такого двомісного відношення - висловлювання "Україна є республікою", де "Україна" - термін, що позначає емпіричний об'єкт, тобто Українську державу, а "республіка" - - термін, що позначає абстрактний об'єкт, тобто властивість, притаманну Українській державі - "бути республікою" (за формою державного правління). Послідовна формалізація цього висловлювання мовою логіки предикатів така: - Р,(х) - одномісна пропозиційна функція; х <=. Р(Х), де "дг" - символ для позначення предметного (індивідного) концепта "Україна" (Українська держава); <= - символ предикації; Р{Х) - символ для позначення предикатного концепта (властивості) "республіка".

Відношення (лат. relatio - відношення) - співвіднесення; взаємозалежність двох і більше предметів у їх взаємозв'язку; відношення між двома і більше предметами (об'єктами міркувань. Позначається терміном "багатомісний предикат" (л-міс-ний предикат).

Багатомісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає відношення між двома і більше емпіричними чи абстрактними об'єктами.

Для визначення відношень вводять непорожній клас або множину М, у межах якої задають відношення R між її елементами. Залежно від відокремленої множини М відношення R виражають словами "рівність", "нерівність", "подібність", "дружба", "кохання", "рідня", "сучасник" тощо. Розрізняють бінарне, тернарне та інші види відношень.

Бінарне відношення - множина М, елементами якої є впорядковані пари (х, у), що вказують на відношення між двома предметами, пов'язаними цим відношенням. Символічно Щх, у). Наприклад, у системі відношень між натуральними числами бінарні відношення виражають словами "рівності", "більше", "менше", "ділиться" і под.("Число 5 менше числа 9"). У системі відношень між родичами бінарні відношення виражаються словами "мати", "батько", "син", "брат" та ін. ("Павло - брат Петра", "Ігор - син Василя"). У системі правовідношень, що регулюються, скажімо, Цивільним кодексом, використовують слова, "позивач", "відповідач" і под. ("Особа х позивач до особи у").

Формальний вираз таких висловлювань - xRy, де х, у - предмети, про які йдеться у міркуваннях, а/2 - символ, що позначає відношення (чит.: х перебуває у відношенні R до у).

Висловлювання, яке містить бінарне відношення (ті = 2-міс-ний предикат), має властивості рефлексивності, нерефлексивності, симетричності, несиметричності, транзитивності, еквівалентності.

Властивість рефлексивності - така властивість відношення R між предметами х та у в множині М, коли кожен з них перебуває у відношенні R до самого себе. Формально: хВу -> -> ((xRx) А (yRy))t де -> - символ слідування (імплікації); л - символ кон'юнкції.

Властивість рефлексивності притаманна відношенню рівності (наприклад, для множини предметів певного виду кожен предмет рівний самому собі), конгруентності (для множини геометричних фігур) та ін.

Властивість нерефлексивності - така властивість відношення R між предметами х та у для множини Му коли кожному з них не притаманна властивість перебувати у відношенні до самого себе. Формально: xRy -> ((-> хЯ*) л (-o yRy)).

Властивість нерефлексивності притаманна відношенню "бути елементом множини", "нерівності", "бути причиною" (х не може бути причиною самої себе) та ін.

Властивість симетричності - така властивість відношення R між предметами х та у для множини А/, коли наявність відношення xRy зумовлює відношення yRx. Формально: (xRy) -> ~> №х).

Властивість симетричності притаманна відношенню рівності, подібності, родинності, дружби тощо. Наприклад: Якщо "я - брат у, то у - брат х".

Властивість антисиметричності (несиметричності) - така властивість відношення R між предметами х та у множині М, коли наявність відношення xRy не зумовлює зворотного відношення уВх. Формально: (хЯу) -" -> (xRy) А -* (уЯх).

Властивість антисиметричності (несиметричності) притаманна відношенню, що виражають словами "бути більше, "бути менше", "бути краще", "бути причиною", "бути мотивом" та ін. Наприклад: "х - причина дії у" (якщо х причина у9 то у не може бути причиною х); "х - мотив дії у" ("Заздрість - мотив скоєння злочину особою І/").

Властивість транзитивності (лат. - перехід) така властивість відношення R між х, у, г для множини М, коли з того, що х перебуває у відношенні Я з у, а у - у відношенні Я з 2, то випливає, що х перебуває у відношенні R з г.

Формально: ((xRy) л (yRz)) -> (xRz), де л - символ кон'юнкції, -> - символ слідування.

Властивість транзитивності притаманна відношенням R, що виражають словами "рівність", "подібність", "паралельність" і под. Наприклад, якщо * рівне і/, а у рівне г, то х рівне z.

Якщо бінарне відношення водночас має властивості рефлексивності, симетричності й транзитивності, то воно набуває властивості еквівалентності (лат. aequalis - рівний, valentis - той, що має; рівнозначність, рівносильність).

Властивість еквівалентності притаманна відношенню R і виражається словами "рівність", "подібність", "конгруентність", "бути ровесниками", "бути водночас сучасниками події П" та ін.

Тернарне відношення - множинна М, елементами якої є впорядковані трійки (х, у, z), що виражають відношення між трьома предметами, пов'язаними між собою системою відношень. Визначають як тримісний предикат (п = 3), має символічний вираз R(x, у, z).

Тернарні відношення виражають словами "знаходиться між", "знаходиться далі від... ніж"; "бути ближче... ніж" та ін. Наприклад: "Земля знаходиться між Венерою та Марсом", "Планета Марс знаходиться далі від Сонця, ніж планета Земля".

Визначення сфери дії предиката визначають квантором.

Квантор (лат. quantum - скільки, кількість) - слово, яке називає, якій кількості предметів з певного класу (множинності), або класу загалом притаманна властивість Р. Природною мовою квантор виражають словами "всі", "кожен", "для всіх, за винятком", "деякі", "лише один", "існує".

У логіці предикатів для символічного позначення операції перетворення пропозиційної функції або предикатної формули на висловлювання виокремлюють квантор загальності й квантор існування.

Квантор загальності позначає висловлювання, в якому властивість Р приписують певному непорожньому класу загалом, що означає: для всіх елементів класу А притаманна властивість Р. Цей квантор має вираз "для всіх" ("усі", "кожний", "будь-який", "який би не був"). Його позначають символом V (перевернута перша літера німецького слова Alle - всі), а повна формула - VxP(x) (чит.: кожному х притаманна властивість Р). Так, висловлювання "Для всіх індивідів класу людей притаманна властивість "бути смертними" ("Усі люди смертні") зображають формулою Vx Р(х).

Квантор існування позначає висловлювання про певний непорожній клас, в якому властивість Р притаманна лише декотрим елементам цього класу, тобто існують елементи класу А, яким притаманна властивість Р.

Квантор існування має вираз "існує" ("деякі", "лише один"). Його позначають символом 3 (перевернута перша літера латинського слова existentia - існування), а повна формула - Зх Р(х) (чит.: "існує", яке має властивість Р). Наприклад, висловлювання "Існують люди, котрим притаманна властивість писати вірші" ("Декотрі люди пишуть вірші") зображають формулою Зх Р(х).

Квантори загальності й існування взаємозалежні, тому всі логічні операції здійснюють з визначенням логічних відношень над ними.

На підставі встановлення термінів, що виокремлюють специфіку логіки предикатів і символів алфавіту, створюють формули логіки предикатів.

Побудова формул логіки предикатів:

1. Якщо F і Q - формули, то -" F; (F а Q); (F V Q); (F -> Q); (F = Q) - формули.

2. Кожен д-місний предикатний символ Рл задає формулу одного з видів.

3. Р(х) - формула, що виражає властивість (одномісний предикат).

4. R(x, у) - формула, яка виражає двомісний предикат.

5. R(x, у, г) - формула, що виражає тримісний предикат.

6. Якщо Р - формула і х - предметна змінна, то V* Р(х) і ЗхР(х) є формулами.

7. V* Р(х) - формула, яка виражає сферу дії квантора загальності.

8. Зх Р(х) - формула, що виражає сферу дії квантора існування.

Жодних інших формул у логіці предикатів немає. Формули виду Р, F, Q - прості (елементарні), а формули виду V* Р(х), Vx Р(х, yt z), V* Зу (Р(х, у) - складні.

Далі будують формули, що визначають сферу дії квантора.

Сфера дії квантора (ОДК) означає вираз, до якого належить квантор. ОДК обмежують дужками зліва і справа від виразу. Ліва дужка означає початок сфери дії, а права дужка - закінчення. У межах ОДК виокремлюють зв'язану та вільну змінні. Змінну, що слідує безпосередньо після квантора, називають підкванторною змінною, а формула, до якої належить квантор, - підкванторною формулою, або сферою дії квантора. Зв'язана змінна - змінна, яка входить до сфери дії кванторів загальності V чи існування З або обох відразу. Наприклад, у формулах VxP(x), ЗхР(х) зв'язаною змінною є х.

Вільна змінна входить до певної формули, але не входить до сфери дії кванторів загальності V чи існування 3 на відміну від зв'язаної змінної. Так, у формулі Vx(P(x)) -> Q(x) - змінна х зв'язана так само, як у формулі Vx(P(x)), але вільна у виразі Q{x).

У логіці предикатів квантор загальності трактують як узагальнення кон'юнкції, а квантор існування - як узагальнення диз'юнкції, якщо множинність М значень змінної х є скінченною, тобто вона складається зі скінченної кількості предметів. Наприклад, М = (xlt xi¿, х3, х4) записують: 1)як кон'юнкцію одиничних висловлювань Р(хх) а Р(хг) лР(х3) а Р(х4), що означає: формула виду Vx(P(x)) еквівалентна формулі P(xt) лР(х2) а Р(х3) а Р(х4); 2) як диз'юнкцію одиничних висловлювань Р(х,) v Р(х2) v Р(х9) v Р(х4), що означає: формула виду Зх(Р(х)) - еквівалентна формулі Р(х,) v Р(х2) V Р(х3) V Р(х ).

Якщо множинність М значень змінної х є нескінченною М = (Xj, х2, х3,... хп)у то квантори загальності й існування виконують роль "нескінченних" кон'юнкцій P(xt) а Р(х2) а Р(х3) а а Р(хн) а... або "нескінченних" диз'юнкцій Р(х,) V Р(х2) V V Р(х8) V Р(хя) V...

Квантифікація (лат. quantum - скільки; facio - роблю) - визначення обсягу суб'єкта та предиката в структурі висловлювання за допомогою кванторних термінів - "усі" ("будь-який", "кожний") та "деякі"; логічна операція, за допомогою якої визначають сферу дії кванторів. Це перехід від формули виду Р(х) до формули виду Vx(P(x)) або Зх(Р(х)), унаслідок чого змінна х у формулі Р(х) перестає бути просто символом, а виражає певну властивість, притаманну класові А. Змінну х у формулі Р(х) називають вільною змінною, а після квантифікації - зв'язаною змінною, тобто у формулах Vx(P(x)) і Зх(Р(х)) змінна х стає зв'язаною.

Квантифікація висловлювань, що містять відношення (/і-міс-ні предикати), набувають такого вигляду: Р(х, у) - двомісний предикат, визначений на множинності М.

Квантор загальності та квантор існування можна використати і для змінної ху і для змінної у. Змінна, до якої використано квантор, стає зв'язаною, а друга змінна - - вільною.

За допомогою квантифікації (використання квантора для однієї зі змінних) двомісний предикат можна перетворити на одномісний, а тримісний - в двомісний і под.

Значення істинності висловлювань з кванторами загальності й існування.

Логіка предикатів є двозначною за кількістю значень істинності, тому висловлюванням із кванторами загальності й існування надають два значення істинності - "і", "х".

Для визначення істинності висловлювання з кванторами загальності або існування задають множину М з певною кількістю елементів, для якої предикат є істинним. Значення істинності визначають за допомогою таблиці істинності.

Таблиця істинності для множини М зі скінченною кількістю елементів з двомісним предикатом (х, у)'. М = (х., х2, х3, х4)

На підставі таблиці істинності визначають:

1. Предикат від х для формули Уі/Р(х, у) має значення "хибність".

2. Предикат від у для формули VxP(x, у) має два значення "істина" і два значення "хибність".

3. Предикат від х для формули ЗуР(х, у) має значення "істина".

4. Предикат від у для формули ЗхР(х, у) має три значення "істина".