Distribuição binomial
Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, permanece constante.
Função de probabilidade[editar | editar código-fonte]
Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:
para e onde é uma combinação.
Através do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:
Exemplo:
Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:
Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:
Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:
Assim, a resposta é:
Valor esperado e variância[editar | editar código-fonte]
Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é
e a variância é
Exemplo[editar | editar código-fonte]
Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, P(X=5), é dada por: