Константин Меньшов начинал заниматься фигурным катанием в 1989 году. С начала 2000-х годов тренируется у Евгения Рукавицына. Стал широко известен стремлением исполнять в своих программах четверные прыжки. К 2012 году добился чистого исполнения в произвольной программе двух четверных тулупов (один в каскадке с тройным тулупом - 4Т+3Т) и двух тройных акселей.
Чемпион России 2011 (Саранск). Победитель международных турниров NRW Trophy 2007 и 2012, Gardena Spring Trophy 2012, Coupe de Nice 2002. Серебряный призёр международных турниров Nebelhorn Trophy 2010 и 2012, Coupe de Nice 2007 и 2010. Участник Чемпионата Европы 2011 (Берн, Швейцария) и турнира World Team Trophy 2009 (Токио, Япония).