Ein zahlentheoretisches dynamisches System mit verständlicher Dynamik

Klaus Leeb, 30.7.2004, Agentur für ungeschminkte Wahrheit


Das dynamische System der Leibniz-Derivation auf den natürlichen Zahlen (mit p' = 1 für alle Primzahlen) hat so seine Mysterien. In seinen Differentialgleichungen kann man das Goldbachsche Problem und das der Primzahlzwillinge formulieren.


Ich wollte etwas Schlichteres erfinden und bin bei f(n) = kgV(p+1 | p|n) gelandet. Da kgV immer kleinergleich dem Produkt ist, würde p-1 zu schnell schrumpfen, also steht da p+1. Zahlen, deren Teiler eine teilbare Zahl ist, sind dagegen Zeugen eines bereits erfolgreich abgeschlossenen Schrumpfungsprozesses.


Wir, voyeuristisch admirativ, beobachten folgendes Iterationsverhalten: Fixpunkt bei 1, Zweierzyklus (3 4), Fixpunkt 12. Hiermit sind alle Zyklen erfaßt. Nun noch die Bäume, die dort wurzeln:


f(2^e) = 3, f(3^e) = 4, f(7^e) = 8, f(5) = 6, f(6) = 12.


Alles, was sonst noch ist, landet schließlich bei 12. Als Monounar ein Langweiler!


Beweis: Induktion nach dem größten Primteiler.


In meiner beschränkten, aber trotzdem gegen Unendlich konvergierenden Bescheidenheit räume ich ein, daß Desasterix dieses Problem maschinell mit Hilfe des von Tufelix entwickelten und implementierten Mathekapiersystems SABBERJACKER hätte bearbeiten können. Er hätte aber auch die mehrfach ausgezeichneten Aritäten der Relationen von Vereinigungsmengen und Durchschnittsmengen in die erfrischend intelligente Theorie miteinbeziehen können, was Gödels nichtterminierende Algorithmen als unarisch entlarvt hätte. Der moderne poppige Trend geht bekanntlich von gleichgeschaltet monounarisch über virtuell poly-meta-unarisch zu konstruktiv und definitiv PR-olet-arisch, was für jede konsistente Theorie Herbrand-Modelle mit entscheidbarer, und daher abzählbar endlicher (Hosen-)Trägermenge ermöglicht, wobei das dauernde Scheuern (Honni soit qui mal y pense!) an den Schultern zu Blazon führt. Ich erkläre mich mit Piccolina Ferrari und Figuer Hart solidarisch, von welchen der erste das nicht verstehen kann und der zweite mit diesem Theorie-Kram&Tand nie etwas zu tun hatte. Princeps ut dixit: iam vero canes estis. Meine Lehrer Vietoris (Topologie), Lochs (analytische Zahlentheorie), Gröbner (unarische Algebra), Tarski (unarische Logik), Spanier (CFLs, die damals noch nicht das Äquivalenzproblem in Universen von Herbrandmodellen entschieden – das war das alte Berkeley mit International und ohne Teuton House), Rado (unarische Kombinatorik) waren im Doppelverhältnis dazu alle von hohem Adel; und würden mir ernsthaft abraten, mit diesem Kram, noch ernsthafter, mit diesen Krämern zu tändeln. Humbuger Tand geht durch alle Land! Nicht aller Schund geht durch jeden Spund!


Zusatz 31.7.04: Es ist erstaunlich, wie jung die mit "numeris, cuius unus sanctus divisor sit indivisibilis" zusammenhängenden Folgen in Sloanes Enzyklopädie sind. Z. B. f(q) = mü p | q|p+1 trägt das Datum June 25, 2003 und den Namen Reinhold Zumkeller, junger angewandter Mathematiker bei Lufthansa. Auch das, was ich, angeregt von meinem elektronischen Führungsoffizier SABJAC, unter "Der Delakunierende schifft" verbal-hornt habe, ist als A046523 erst wieder am March 11, 2004 bearbeitet worden. Heute erst habe ich mich davon überzeugt, daß die fSPO(q) = mü p | q|pp+1 (SPO steht natürlich für square plus one), die nur auf Primzahlen der Klasse 1 mod(4) definiert ist, auch nicht da ist: Es gibt zwar zwei in der Nähe liegende: 2, 5, 13, 17, 31, dann aber geht's weiter mit 37 und 61 bzw. 71. fSPO ist aber 2, 5, 13, 17, 31, 73. Immerhin ganz lustig, daß in den letzten zwei Jahren, eigentlich erst in den letzten Monaten so eine flurry von Anmeldungen in a hurry sich abspielt. Sogar die Injektion der 1mod(4)-Primzahlen in alle Zahlen 1mod(4), nämlich die Folge 1, 3, 4, 7, 9, 10, 13, 15, 18, 22, 24, 25, 27, 28, 34, 37, 39, 43, 45, 48 (Dank gebührt WIMS) wurde erst 16. und 26. Juno 2004 bearbeitet. Die Injektion der 1mod(4)-Primzahlen in alle Primzahlen, nämlich 3, 6, 7, 10, 12, 13, 16, 18, 21, ... wurde am 11.2.2003 aufgenommen.


Viele Fragen dazu sind noch nicht einmal gestellt: Etwa für f(q) = mü p | q|p+1 oder f1(q) = mü p | q|p-1 oder f2(q) = mü p | q|pp-1 die Frage nach der Injektivität, oder ob es unbeschränkt lange absteigende Folgen von Werten über aufsteigendem Argument gibt. Für die Agglutination von "unbeschränkt lang" mit "unendlich" konsultiere man den wie eine Watsche schlagenden Beweis der Äquivalenz von "artinsch" und "fundiert" in den Neuen Gesamtdeutschen Disk-wie-Sitziones Algorithmicae, die die Progressive Generation nach dem nicht ganz freiwilligen Aussterben der alten, weltfremden adoptiert hat. Warum sollte das Regnitzwalli niveaumäßig nicht mit dem Rheinwalli mithalten können? Wer sich nicht ins Glied stellt, wird von den begeisterten Massen hinweggespült und landet auf dem Kehrichthaufen der Geschichte. Odi profanum volgus et arceo. Le SA-bétail. Dies eingedenk Landaus und Schurs.


Für das +1/-1-Analogon unserer Titelgeschichte kann man die Dynamik auch recht leicht beschreiben: Sei also f3(n) = kgV(pp-1 | p|n). Dann erkennt man leicht, daß jedes p > 3 die beiden Faktoren (unbedenklich welcher Multiplizität) 2 und 3 erwirbt, also auch unter Iteration nie wieder abgibt. Man hat also den Fixpunkt 1, den Zweierzyklus (3 8) und den Fixpunkt 24. Nach 3 gehen alle Potenzen von 2, nach 8 gehen alle Potenzen von 3, aber alles andere, weil es eben 2 und 3 schon hat oder ein größeres p, landet schließlich bei 24. Der Beweis stützt sich wieder auf den größten Primfaktor, der schrumpft. Dabei können die Zahlen in der natürlichen Ordnung durchaus größer werden. Der interessierte Leser mag sich an Goodsteins CantorNF-Folgen, deren banale Verramschung unter dem Titel "Herkules und die Hydra" und wqo (eine von Desasterix' biblischen Plagen) erinnern. Dann wäre er bereits als gebildet anzusehen.


Apropos 11.3.2004: Da hat's doch in Madrid geknallt. Gestern kamen in Belgien bedauernswerte Menschen durch einen Gasunfall zu Tode. Auch nah Erlangen schoß vor Jahren bei einer Mühle eine Flammenfontäne gen Himmel. Wenn keine Verluste an Menschenleben zu beklagen sind, kann so ein Ereignis sogar einen gewissen Grad an Lustigkeit erreichen. Ich erinnere mich an einen Morgen aus meiner Jugendzeit, als es in meinem Heimatort Wattens bei einer weltweit bekannten Glasmanufaktur mächtig rums machte. Man vermeinte, von einem Erdbeben aus dem Bett gehoben zu werden. Kurz darauf fing es mitten im Sommer an zu schneien: Glaswolle aus der Wärmedämmung des gewesenen Kraftwerks. Der Vorfall war das schlechthin klassische Beispiel für "Kleine Ursache, große Wirkung". Das Ventil zum Gasometer war geschlossen. Beim Schweißen entstand eine kleine Explosion, die es öffnete (Schlag gegen die übliche Schließrichtung, vgl. Maxwells Dämon!). Der Gasvorrat ergoß sich in das fünf(?)stöckige Gebäude, und man konnte darauf warten, wann es rums machen würde. Die (sonntags) wenigen Arbeiter warteten nicht, sondern liefen um ihr Leben, was die erfreuliche Folge hatte, daß nur einer eine unkritische Lungenquetschung erlitt. Sein Auto, ein Käfer, war auf einem Kanaldeckel gestanden, der es in die Luft schleuderte, wonach beide Objekte in derselben Reihenfolge auf die Erde krachten. Der Käfer war flach wie eine Zecke oder Wanze. Der Arbeiter war zufrieden, daß der sich gegen sein Auto und für sein Leben entschieden hatte. Schwerer tut man sich manchmal mit der Entscheidung Ehr' oder Leben. Das wieder erinnert mich an New York, Central Park: Ein Junge, Augapfel seiner Eltern, hatte von diesen zum Geburtstag ein Fahrrad geschenkt bekommen. Er probierte es gerade aus. Ein thug wollte es ihm entreißen. Er hielt es einen Augenblick zu lange fest, da hatte er die Klinge im Herzen. Jedesmal, daß ich daran erinnert werde, dauern mich die Eltern. Im Berufsleben eines Mathematikers gibt es eine vergleichbare Situation: Theorem oder Leben. Ist man reich wie Rothschild, kauft man sie sich zusammen, unbillig billiger, man klaut sie sich mit Hilfe einer Hehlerbande am MIT und läßt sich von einem peripatetischen selberGehenkten pathetisch verteidigen.


O honra, o muerte! Evviva la fin del' omertà!


Wenn die eine oder andere meiner Äußerungen leicht kritisch geklungen haben mag, so bekenne ich doch ganz laut und deutlich meine Dankbarkeit gegenüber den menschenfreundlichen, großzügigen, kostenlosen und niemanden diskriminierenden online-Gaststätten (kein gastronomisches Ödland!) der Wirte Sloane, Bottomley und WIMS. Bei der natürlichen I., die an anderem, einzigem Ort als ebenso erfrischend wie völlig bezeichnet wird, habe ich mich bereits zu Beginn dieser Lebensphase bedankt. Diesen Dank werde ich runderneuern, sobald ich mit Hilfe meines megasthenischen Kostreiters den Samisdat-Niteraturlobelienpreis errungen habe.


-elstwo ist mir übriggeblieben, ich weiß auch heute nichts mehr damit anzufangen, abgesehen davon bin ich jedoch pumperlgsund!


Et doué d'une becquée de bon sens.


3.8.04: Ma surprise est extrème: L'Opéra National de Paris me fait de nouveau cadeau de deux heures joyeuses. "Aussi peu on craint mon courroux (Platée hab ich noch nicht auf Platte)" me fait croire à la périodicité (12.7.2003) de la vie. Quand même, cette fois ci je peux constater un plagiat: L'homme en laisse n'est pas du cru de la jolie geôlière, mais une des folies des paradisiers en volière. (Thalia & Terpsichore)


Kulturkanal 3sat: Untertitel: "... war übersäht mit ..."


Man google sich zu "Mathe-Witze" und "mit wüsten Formeln übersäht". (8780 Einträge!)