Die Raumzeit-Mannigfaltigkeit

Postulat 1 (Raumzeitbegriff der ART)   Die physikalische Raumzeit ist darstellbar als ein geordnetes Paar $(M,g)$, bestehend aus einer vierdimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ und einem auf $M$ definierten metrischen Tensorfeld $g$, das überall eine Lorentz-Signatur aufweist.

Die Mannigfaltigkeit ist die natürliche Verallgemeinerung des euklidischen Raums, der in der Newton'schen Theorie zu Grunde gelegt wird. In Kapitel 3 haben wir die Mannigfaltigkeit zwar mit Hilfe von Karten, also lokalen Koordinatensystemen definiert (siehe vor allem Abschnitt 3.1); bei den weiteren Definitionen, wie z. B. des Tensors, sind wir aber koordinatenunabhängig vorgegangen. Der Tensor lässt sich zwar für ein bestimmtes Koordinatensystem in Komponentenschreibweise angeben, ist aber doch insgesamt ein Konstrukt, das eine geometrische Bedeutung hat, die unabhängig von Koordinatensystemen ist.

Dieser Formalismus ist natürlich die beste Voraussetzung für die Verwirklichung der allgemeinen Kovarianz. Gleichungen, die nur mit Hilfe von Tensoren und deren kovarianten Verknüpfungen (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Tensorprodukt und Kontraktion) geschrieben werden, sind automatisch in allen Koordinatensystemen gültig, weil wir in der Definition der Operationen (mit Ausnahme der Kontraktion) nicht auf spezielle Koordinatensysteme zurückgegriffen haben. Die Kovarianz der Kontraktion haben wir zumindest für den Spezialfall der Anwendung einer 1-Form auf einen Vektor explizit bewiesen (Gleichung (3.13)).

Durch die Lorentz-Signatur wird der Tatsache Rechnung getragen, dass genau drei Raumkoordinaten und eine Zeitkoordinate in der physikalischen Realität festgestellt werden können. Der Prototyp der Lorentz-Signatur ist die Metrik der SRT,

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2,$$ (42)

die auch als Minkowski-Metrik bezeichnet wird. Die Lorentz-Signatur stellt also sicher, dass zumindest eine gewisse Einschränkung bezüglich der Metriken besteht, die eine Verträglichkeit zur SRT gewährleistet. Denn die SRT soll schließlich lokal gelten (siehe Äquivalenzprinzip, S. ).

Durch die Anwesenheit von Energie (z. B. in Form von Materie) wird die Raumzeit gekrümmt (siehe Abschnitt 4.1.3). Dies bedeutet, dass ihre innere Geometrie verändert wird. Somit werden durch die Krümmung sämtliche physikalischen Prozesse beeinflusst. Die mathematische Darstellung der Gravitation durch eine Krümmung des den physikalischen Abläufen zugrunde liegenden Raums ist also die Umsetzung der bereits in Abschnitt 1.2.1 erwähnten Universalitätseigenschaft.