АНАЛІТИ́ЧНА ФУ́НКЦІЯ – функція, що визначена в деякій області і в околі кожної її точки розкладається в збіжний степеневий ряд. Нехай в області D комплекс. площини C задана (однозначна) функція f: D → C. Ця функція називається аналітичною в точці a ∈ D, якщо в деякому околі цієї точки вона зображається у вигляді: f(z)=c₀+c₁(z–a)+...+c_n(z–a)ⁿ+... з коефіцієнтами c₀, c₁,…, що не залежать від z. Функція f називається аналітичною в D, якщо вона аналітична в кожній точці області D. Функція f називається диференційовною (в комплекс. сенсі) в точці a ∈ D, якщо існує скінчена границя lim_z→a(f (z)–f(a))/(z–a), яка позначається через f’(a) і називається похідною функції f в точці a. Функція f називається диференційовною в D, якщо вона диференційовна в кожній точці області D. Функція аналітична в області D тоді і тільки тоді, коли вона диференційовна в D. Аналітичну в області функцію називають також голоморфною, або регулярною, а термін «А. ф.», на відміну від двох наведених термінів, використовують також у більш заг. сенсах. Значення теорії А. ф. визначається тим, що більшість функцій, які вивчають у математиці і використовують у фізиці та ін. науках, є аналітичними. Це стосується таких функцій, як поліноміальні, раціональні, тригонометричні, експоненціальні, гіперболічні, еліптичні, а також функції, обернені згаданим (з необхід. уточненням умов і термінології), і багато ін. класів функцій у відповід. областях. А. ф. мають низку важл. властивостей. Похідна А. ф. є аналіт. функцією. Тому аналітична в D функція має похідні f’, …, f⁽ⁿ⁾, … усіх натурал. порядків і в околі кожної точки a ∈ D зображається рядом:

f(z) = f(a) + f’(a)(z –a)/1! + ... ... + f⁽ⁿ⁾(a) (z – a)ⁿ/n! + ... ,

який називається рядом Тейлора функції f в точці a. Комплексну площину C можна ототожнювати з евклідовою площиною R² і розглядати область D в R². Нехай z=x+iy,

f(x+iy)=u(x,y)+in(x,y),

де i=√−1 є уявна одиниця, а u, v – дійсні функції дійсних змінних x, y в області D ∈ R². Якщо функції u, v диференційовні в дійсному розумінні в D, то для аналітичності f у D необхідно і достатньо, щоб у D виконувалась сукупність умов:

∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = –∂v/∂x,

яка називається рівняннями Коші–Рімана (або Д’Аламбера–Ейлера). Функції u, v є гармоніч. функціями. Якщо в наведених вище означеннях А. ф. комплекс. змінної z прийняти, що D є область на дійсній осі R¹, тобто відкритий інтервал I, то ми отримаємо означення А. ф. дійсної змінної (в точці й у відкритому інтервалі). Цей інтервал I можна розглядати на дійсній осі в C, і кожна аналітична в I функція дійсної змінної виявляється слідом на I деякої (притому єдиної) А. ф. комплекс. змінної, визначеної в двовимір. околі інтервалу I. Нехай Г є замкнена спрямлювана жорданова крива, яка разом із охоплюваною нею обмеженою областю G міститься в D. Тоді для кожної точки a ∈ G правильними є співвідношення

∫_Гf(z)dz=0,

∫_Гf(z)dz/(z–a)=2πif(a),

перше з яких називається інтегральною теоремою Коші, а друге – інтегральною формулою Коші. Інтеграл. теорема Коші має обернення, яке називається теоремою Морери. Для А. ф. правильними є теореми єдиності (які стверджують, що певні умови визначають тільки одну А. ф.) і принцип максимуму модуля (якщо А. ф. не є сталою, то верхня границя значень її модуля в області не може досягатись у жодній точці цієї області). У 20 ст. побудовано також теорію голоморфних функцій кількох комплекс. змінних, яка відіграє значну роль у математиці та її застосуваннях. Теорія А. ф. є центр. частиною теорії функції однієї і багатьох комплекс. змінних, яка в останні роки дедалі частіше позначається місткішим і енергійнішим терміном «комплексний аналіз». Основи теорії А. ф. комплекс. змінної заклали в 19 ст. О. Коші, Б. Ріман, К. Вайєрштрасс.

Літ.: Соколов Ю. Д. Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954; R. P. Boas, R. C. Buck. Polynomial expansions of analytic functions. Berlin, 1958; Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. Москва, 1966; Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. 2-е изд. Т. 1–2. Москва, 1967–68; J. M. Anderson. Muntz Szasz approximation and the angular growth of lacunary integral functions // Transactions of the American Mathematical Society. 1972. Vol. 69, № 7; Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд. Москва, 1973; Ибрагимов И. И. Избранные вопросы теории аналитических функций. Баку, 1984; Трохимчук Ю. Ю. Устранимые особенности аналитических функций. К., 1992; Скаскив О. Б. О росте в полуполосах аналитических функций, представленных рядами Дирхле // УМЖ. 1993. Т. 45, № 5; Винницкий Б. В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Там само. 1994. Т. 46, № 5.

П. М. Тамразов