Алгебраїчна школа
Алгебра щедра, вона часто дає більше, ніж у неї просять.
Ж. Даламбер
Добре відомою світовій математичній спільноті є алгебраїчна школа Київського університету, засновником якої на початку ХХ століття виступив видатний математик і механік Д.О.Граве. Його знаменитий семінар, на якому, зокрема, вивчалися проблеми теорії груп, теорії алгебраїчних чисел, відкрив шлях у науку таким відомими вченим, як М.П.Кравчук, О.Ю.Шмідт, М.Г.Чеботарьов, Б.М.Делоне, А.М.Островський.
Своїм другим народженням алгебраїчна школа Київського університету багато в чому завдячує професору Л.А. Калужніну, який у 1956 році переїхав з Берліна до Києва, принісши з собою традиції і математичну культуру кращих університетів Франції та Німеччини. Серед вихованців цієї школи - професори В.В.Кириченко, Ю.А.Дрозд, В.І.Сущанський, О.Г.Завадський, В.О.Устименко, доктори фізико-математичних наук В.В.Сергейчук, В.М.Футорний, В.В.Бавула, В.С.Мазорчук, С.А.Овсієнко, доценти В.В.Плахотник, О.Г.Ганюшкін.
Останніми роками дослідження науковців кафедри алгебри проводились під керівництвом її завідувача професора В.І. Сущанського та професора Ю.А. Дрозда у двох основних напрямках: теорія груп перетворень із застосуваннями в алгебраїчній комбінаториці і категорно-геометричні методи зображень алгебраїчних структур. Зокрема, В.І. Сущанський зі своїми учнями В.В. Некрашевичем та А.С. Олійником отримав важливі результати про будову груп автоморфізмів дерев, заклав основи теорії груп та напівгруп автоматних перетворень; разом з О.Г. Ганюшкіним охарактеризував скінченні однорідні метричні простори з широким спектром значень метрики, разом з О.О. Безущак охарактеризував групи ізометрій узагальнених метрик берівського типу. Ю.А. Дрозд розробив техніку застосування матричних задач до класифікації модулів Коена-Маколея та векторних розшарувань, описав стабільні гомотопічні типи поліедрів розмірностей менших 5, разом з С.А. Овсієнком довів збіжність зображувальних типів локально скінченновимірної матричної задачі та її фактора за вільною дією групи без скруту.
Школу з теорії зображень було засновано на початку 60-х рр., коли в університеті при кафедрі алгебри та математичної логіки працював семінар із гомологічної алгебри під керівництвом А.Ройтера. У цьому семінарі брали участь Ю.Дрозд, В.Кириченко, С.Кругляк, Л.Назарова. Двоє перших стали співробітниками кафедри й поклали початок розвитку школи з теорії зображень в університеті.
Характерною рисою школи є нові, нетрадиційні розділи теорії зображень. Так, перші дослідження, виконані її членами, стосувалися теорії цілочисельних зображень кілець, яка на той час лише починала свій розвиток. Це дало змогу Київській школі стати провідною з багатьох питань. У першу чергу тут треба зазначити досконале вивчення спеціальних класів порядків: спадкових, басових, квазібасових. Класичним результатом цих досліджень став критерій скінченності числа нерозкладних зображень для локальних порядків, одержаний у 1972 р. Ю.Дроздом та В.Кириченком. Не випадково, на Всесоюзній школі з теорії зображень в Ужгороді, у вересні 1972 р., саме вони робили огляд результатів із теорії цілочисельних зображень.
Починаючи з 70-х рр., центр досліджень у Київській школі зміщується в бік теорії скінченновимірних алгебр, а також нового методу, запровадженого в теорії зображень, у першу чергу, саме завдяки роботам київських учених: методу "матричних задач". Цей метод вийшов із розгляду деяких проблем лінійної алгебри, які природно виникали при обчисленні зображень, і поступово перетворився в один із найефективніших засобів як обчислення, так і якісного дослідження зображень. Одним із найвідоміших результатів у цьому напрямі стала теорема про те, що кожна скінченновимірна алгебра є або ручною, або дикою, доведена Ю.Дроздом у 1979 р. Коли, наприкінці 80-х рр., стала можливою участь київських учених у міжнародних конференціях, Ю.Дрозда було запрошено на спеціальну сесію Банахівського наукового центру (1988) та Лондонського математичного товариства (1989) з доповідями, присвяченими цьому результату. Починаючи з 1990 р., Ю.Дрозда постійно запрошують зі спеціальними доповідями на Міжнародні конференції із зображень алгебр та їх застосувань (ICRA), а з 1994 р. він входить до наукового комітету цих конференцій.
Найважливіші результати, одержані Ю.Дроздом, С.Овсієнком, В.Сергійчуком та їхніми учнями, - теорія накриттів для матричних задач та скінченновимірних алгебр і теорема про збіг зображувальних типів алгебри та її накриття; теорія матричних задач з інволюцією; теорія A(Ґ)-категорій та похідних категорій для матричних задач тощо.
Одночасно з цим напрямом тривають дослідження, пов'язані з теорією порядків та близьких питань загальної теорії кілець і модулів. Широке визнання одержала теорія ланцюгових кілець, розроблена В.Кириченком (їй було присвячено, зокрема, оглядову доповідь у Банахівському науковому центрі 1988 р.) та мультиплікативна теорія ідеалів комутативних кілець, розвинена Ю.Дроздом. Новий напрям у вивченні некомутативних аффінних алгебр, перш за все нескінченновимірних простих алгебр, розвинув В.Бавула. Його результати доповідалися на ICRA (у 1994, 1996 та 1998 рр.) та на Міжнародних конференціях з теорії кілець в Антверпені (1997) та в Единбурзі (1998).
З 80-х рр., з ініціативи Ю.Дрозда, починаються дослідження з теорії зображень алгебр і груп Лі - важливої галузі сучасної математики, яка до цього часу в Україні майже не розвивалася. Найважливіші результати тут було одержано В.Футорним. Він розробив загальну теорію узагальнених модулів Верма як для класичних простих алгебр Лі, так і для аффінних алгебр; в останньому випадку, зокрема, було описано й усі можливі параболічні розбиття систем коренів. Ці результати неодноразово доповідалися на зборах Американського й Канадського математичних товариств, у Тата-Інституті (Бомбей), Міжнародному науковому центрі у Трієсті тощо. Важливі результати про будову вагових модулів над новими класами алгебр Лі одержав В.Мазорчук.
В останні роки, завдяки встановленню широких міжнародних зв'язків, тематика школи надалі розширюється. До неї ввійшли дослідження з алгебричної геометрії (теорія особливостей і векторних розшарувань) та алгебричної топології. Зокрема, у співробітництві з німецькими математиками, розроблено теорію модулів Коена - Маколея над одновимірними особливостями (як комутативними, так і некомутативними); описано векторні розшарування над проективними кривими (у т. ч. особливими); одержано класифікацію стабільних гомотопічних типів поліедрів у кількох нових випадках; описано квадратичні модулі та деякі класи кубічних модулів. Результати доповідалися на міжнародних наукових конференціях із теорії особливостей (Обервольфах, 1995, 1999) та з теорії поліноміальних функторів (Рінгберг, 1999), а також на Міжнародній конференції з теорії зображень у Сан Пауло (1999).
Важливим напрямом діяльності школи є комп'ютерна алгебра та її застосування до теорії зображень. С.Овсієнко є членом Міжнародного координаційного комітету з цих питань, де київські фахівці плідно співпрацюють із науковцями Німеччини, США, Польщі, Канади, Мексики.
За час існування школи було захищено шість докторських дисертацій (Ю.Дрозд, В.Кириченко, В.Сергійчук, В.Футорний, В.Бавула, В.Мазорчук) та понад 20 кандидатських дисертацій. Зараз до складу школи входять близько 20 науковців, які активно працюють у цій галузі. Навчальний посібник Ю.Дрозда та В.Кириченка "Скінченновимірні алгебри" було перекладено англійською мовою видавництвом Шпрінгер; він став основним підручником для студентів із цієї теорії практично в усьому світі. З 1998 р. Ю.Дрозд разом з А.Версхореном (Антверпен) видають міжнародний журнал "Алгебри й теорія зображень" (у видавництві Клувер, Нідерланди). Вплив школи поширюється й на інші регіони України; особливо на Львівський та Ужгородський університети. Випускники школи (щороку це п'ять-шість студентів) працюють по всій Україні та в багатьох інших країнах світу. Науковий семінар з теорії зображень, під керівництвом Ю.Дрозда та С.Овсієнка, є провідним у своїй галузі. У 1997 р. в Київському університеті було проведено Міжнародну конференцію з теорії зображень та комп'ютерної алгебри. У ньому взяли участь близько 40 науковців із закордону (Німеччини, Великої Британії, США, Канади, Мексики, Польщі, Норвегії, Румунії, Росії).
В наш час важливим напрямом діяльності алгебраїчної школи є комп'ютерна алгебра та її застосування до теорії зображень.