5. Замена переменной в определенном интеграле

Пример 1. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Найдем вначале первообразную от подынтегральной функции, сделав замену переменной по формуле Тогда и, следовательно,

Возвращаясь к переменной получим

Таким образом, одной из первообразных от функции является функция

Следовательно, применяя формулу Ньютона—Лейбница, получим

Покажем, что можно упростить вычисление определенного интеграла, не возвращаясь от переменной t вновь к переменной . Предположим, что нужно вычислить определенный интеграл , где — непрерывная функция на сегменте . Перейдем от переменной к переменной t, положив,

Пусть значению по формуле (28) соответствует значение , а значению по той же формуле — значение

Предположим, кроме того, что:

1) функция производная непрерывны на сегменте ;

2) при изменении t от а до значения функции не выходят за пределы сегмента

При этих условиях имеет место следующая формула замены переменной в определенном интеграле: и

В самом деле, пусть первообразная для функции т.е. Тогда по формуле Ньютона—Лейбница

Теперь покажем, что если в первообразной положить то функция будет первообразной для подынтегральной функции преобразованного интеграла, т. е. для функции Действительно, применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

Поэтому по той же формуле Ньютона—Лейбница

Но так как по условию , то . Поэтому Р

Сравнивая равенства (30) и (30), приходим к формуле замены переменной:

Рассмотрим примеры.

Вернемся к примеру 1, приведенному в начале этого параграфа, и найдем вновь

Положим или . В данном случае при Итак, . Следовательно, по формуле (31) замены переменной имеем

Пример 2 Найти

Решение, Полагая , получим . При при Итак,

Следовательно, применяя формулу замены переменной, найдем

Заметим, что часто вместо замены переменной употребляют обратную замену однако при этом необходимо, чтобы функция, обратная функции существовала и чтобы для этой обратной функции выполнялись условия, при которых была выведена формула замены переменной.

Пример 3. Найти

Решение. Полагаем . При этом легко убеждаемся, что обратная функция существует и удовлетворяет условиям, при которых была выведена формула замены переменной.

Находим . При при . Итак, . Применяя формулу замены переменной, получим