Родился 17 сентября 1962 г. в пос. Мамонтовка Пушкинского района Московской области в семье Иосифа Артемьевича и Нины Геннадьевны Косачевых. Его отец окончил Московский государственный институт международных отношений МИД СССР, работал в Министерстве иностранных дел СССР. С 1962 г. семья жила в Стокгольме (Швеция), в 1970 г. вернулась в Москву.
В 1984 г. с отличием окончил Московский государственный институт международных отношений МИД СССР (скандинавское отделение кафедры международных отношений; ныне - МГИМО МИД РФ), в 1991 г. - факультет повышения квалификации Дипломатической академии МИД СССР.
Кандидат юридических наук. В 2003 г. в Дипломатической академии МИД России защитил диссертацию на тему "Концепция развития международного права в области борьбы с ядерным терроризмом".
После окончания вуза по распределению был зачислен в центральный аппарат МИД СССР на должность референта отдела скандинавских стран. В том же году был направлен в первую заграничную командировку в г. Гетеборг (Швеция), где находился до 1988 г. Затем вернулся в Москву.
В 1991 г. был направлен в Стокгольм, где работал в российском посольстве третьим, вторым секретарем, советником посольства.
В 1995 г. Константин Косачев вернулся в Москву, в центральный аппарат МИД, где возглавил отдел Финляндии и Швеции. Затем занимал должность заместителя директора Второго Европейского департамента министерства (курировал североевропейское направление). Как представитель МИД РФ комментировал события в сфере международных отношений.
В мае 1998 г. был назначен советником по международным вопросам премьер-министра РФ Сергея Кириенко. С августа 1998 г. работал помощником по международным делам председателя правительства Евгения Примакова. После того, как в мае 1999 г. правительство возглавил Сергей Степашин, занял пост заместителя руководителя секретариата премьер-министра.
В ходе предвыборной кампании в Госдуму в 1999 г. возглавлял секретариат руководителя избирательного блока "Отечество - Вся Россия" (ОВР) Евгения Примакова.
С 1999 по 2012 г. - депутат Государственной думы Федерального собрания РФ III, IV, V, VI созывов. Одновременно в 2004-2012 гг. – руководитель делегации Госдумы в Постоянной делегации Федерального собрания РФ в Парламентской ассамблее Совета Европы (ПАСЕ), заместитель председателя ПАСЕ, координатор депутатской группы по связям с парламентом Королевства Швеции.
Был избран в Госдуму РФ III созыва 19 декабря 1999 г. по списку "Отечество - Вся Россия". В Думе стал заместителем руководителя фракции ОВР Евгения Примакова. В 2001 г., после ухода Примакова из нижней палаты парламента, Константин Косачев занял пост первого заместителя руководителя фракции ОВР Вячеслава Володина. Одновременно в 2000-2003 гг. был заместителем председателя комитета Госдумы по международным делам Дмитрия Рогозина.
Входил в состав парламентской комиссии по оказанию содействия Союзной Республике Югославии в преодолении последствий агрессии Организации Североатлантического договора. Был также членом комиссии по вопросам выполнения договоров между РФ и США о дальнейшем сокращении и ограничении стратегических наступательных вооружений (Договор СНВ-2) и об ограничении систем противоракетной обороны (Договор по ПРО), а также Договора о всеобъемлющем запрещении ядерных испытаний (ДВЗЯИ) и заключения нового соглашения о дальнейшем сокращении и ограничении стратегических наступательных вооружений (Договор СНВ-3).
7 декабря 2003 г. был избран депутатом IV созыва Госдумы РФ по списку партии "Единство и Отечество" - Единая Россия" (с декабря 2003 г. - "Единая Россия"). В 2003-2007 гг. был членом партийной фракции, возглавлял думский комитет по международным делам.
2 декабря 2007 г. вновь избран в Госдуму РФ V созыва по списку "Единой России" (входил в региональную группу от Чувашской Республики под вторым номером). Был членом фракции "Единая Россия", председателем комитета по международным делам.
Был заместителем секретаря президиума Генсовета "Единой России" Вячеслава Володина (курировал, в т. ч., вопросы международной политики и межпартийных связей).
4 декабря 2011 г. стал депутатом VI созыва Госдумы РФ по списку "Единой России" от Чувашской Республики (второй номер списка). Входил во фракцию "Единая Россия". С января по март 2012 г. - заместитель председателя думского комитета по международным делам Алексея Пушкова. Депутатские полномочия были прекращены досрочно 6 марта 2012 г. в связи с переходом на госслужбу.
С 5 марта 2012 г. по 22 декабрь 2014 г. занимал пост руководителя Федерального агентства по делам СНГ, соотечественников, проживающих за рубежом, и по международному гуманитарному сотрудничеству (Россотрудничество). Сменил во главе агентства Фарита Мухаметшина. Являлся также специальным представителем президента РФ по связям с государствами - участниками СНГ.
С декабря 2014 г. - член Совета Федерации (СФ) РФ. С 22 декабря 2014 г. по 21 сентября 2015 г. представлял в верхней палате парламента исполнительный орган власти Чувашской Республики. С 21 сентября 2015 г. - член Совета Федерации от правительства Республики Марий Эл (вновь назначен 21 сентября 2017 г.).
С 25 декабря 2014 г. - председатель комитета СФ по международным делам (переизбран 30 сентября 2015 г.; 27 сентября 2017 г.).
Входит в состав Высшего совета Всероссийской политической партии "Единая Россия".
С 22 марта 2016 г. - заместитель председателя Межпарламентского союза.
Президент российского парламентского Европейского клуба.
Общая сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 4 млн 886 тыс. руб., супруги - 208 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 4 млн 732 тыс. руб., супруги - 2 млн 585 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 4 млн 874 тыс. руб., супруги - 4 млн 788 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 5 млн 93 тыс. руб., супруги - 5 млн 502 тыс. руб.
Награжден орденами Дружбы (2003), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2006), Почета (2012), медалью П. А. Столыпина II степени (2018).
Командор ордена Полярной звезды (Швеция; 2004), награжден орденом Дружбы (Южная Осетия; 2009), орденом Почета (Южная Осетия; 2016).
Имеет медаль ордена "За заслуги перед Чувашской Республикой" (2012), орден Офицерского Креста Венгерской Республики.
Действительный государственный советник РФ II класса (1999).
Имеет ранг чрезвычайного и полномочного посла (присвоен 1 декабря 2009 г.).
Почетный доктор Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова (2007), Института международного права и экономики им. А. С. Грибоедова (2008).
Владеет шведским и английским языками.
Жена - Людмила Алексеевна (в девичестве Муранова; род. 1958). Дочери Мария (род. 1986) и Анна (род. 1989), сын Александр (род. 1991; родился в Швеции).