1 Algebraické rovnice
Nejprve budme studovat rovnice obsahující nejjednodušší funkce – polynomy.
Definice 1.1 (algebraická rovnice). Buď \( \displaystyle n\) přirozené číslo a
| \[ P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{ 1}x^{n-1} + a_{ 2}x^{n-2} +\cdots +a_{ n-2}x^{2} + a_{ n-1}x + a_{n} \] | (1.1) |
polynom stupně \( \displaystyle n\) s reálnými koeficienty \( \displaystyle a_{0}\), \( \displaystyle a_{1}\), …\( \displaystyle a_{n}\), kde \( \displaystyle a_{0}\neq 0\). Koeficient \( \displaystyle a_{0}\) se nazýváme vedoucí koeficient polynomu \( \displaystyle P_{n}(x)\) a koeficient \( \displaystyle a_{n}\) absolutní člen polynomu \( \displaystyle P_{n}(x)\). Člen \( \displaystyle a_{0}x^{n}\) nazýváme vedoucí člen polynomu \( \displaystyle P_{n}(x)\). Algebraickou rovnicí stupně \( \displaystyle n\) rozumíme rovnici tvaru \( \displaystyle P_{n}(x) = 0\), tj.
| \[ \mathbf{a_{0}x^{n} + a_{ 1}x^{n-1} + a_{ 2}x^{n-2} +\cdots +a_{ n-2}x^{2} + a_{ n-1}x + a_{n} = 0} \] | (1.2) |
Poznámka 1.1 (nejjednodušší polynomy). Polynom nultého stupně je konstantní funkce. Polynom prvního stupně nazýváme lineární polynom a jeho grafem je přímka (k sestrojení grafu nám tedy stačí znát dva body, které na grafu leží). Polynom druhého stupně nazýváme kvadratický polynom, jeho grafem je parabola. Polynom třetího stupně nazýváme kubický polynom, jeho grafem je kubická parabola.
Definice 1.2 (kořen polynomu, řešení algebraické rovnice). Řešením (kořenem) algebraické rovnice (1.2) (kořenem polynomu (1.1)) rozumíme číslo \( \displaystyle c\), splňující \( \displaystyle P_{n}(c) = 0\), tj. splňující po dosazení za \( \displaystyle x\) rovnost (1.2).
Příklad 1.1. Čísla \( \displaystyle x = 1\) a \( \displaystyle x = -2\) jsou kořeny polynomu
| \[ P(x) = x^{3} + 2x^{2} - x - 2. \] | (1.3) |
Vskutku, přímým výpočtem lze ověřit, že \( \displaystyle P(1) = 0\) a \( \displaystyle P(-2) = 0\). Číslo \( \displaystyle x = 3\) naopak není kořenem tohoto polynomu, protože \( \displaystyle P(3) = 40\neq 0\).
O řešitelnosti algebraických rovnic vypovídá následující věta.
Následující definice a věta udávají jednu z ekvivalentních formulací definice kořene polynomu.
Příklad 1.2. Polynom (1.3) může být zapsán v následujících ekvivalentních tvarech
\[ \begin{array}{cl} y = (x - 1)(x^{2} + 3x + 2),\quad y = (x + 2)(x^{2} - 1),\quad y = (x - 1)(x + 1)(x + 2).& \end{array} \]Čtenář může snadno zkontrolovat ekvivalentnost těchto vyjádření roznásobením závorek a sečtením odpovídajících mocnin.
Poznámka 1.2 (dělení kořenovým činitelem). 
Věta 1.2
tedy říká, že polynom lze beze zbytku vydělit kořenovým
činitelem. Toto dělení polynomu je vhodné provádět pomocí
Hornerova schematu. Toto schema nám poslouží současně i při
výpočtu funkčních hodnot polynomu, protože
vyžaduje menší počet operací násobení, než jaký
bychom museli provádět, kdybychom počítali funkční hodnoty
přímo z vyjádření (1.1).
Je možné dokonce ukázat následující zobecnění Věty 1.2.
Je-li číslo \( \displaystyle c\) kořenem polynomu (1.2), může být i kořenem polynomu \( \displaystyle Q_{n-1}(x)\) z Věty 1.2. Proto má smysl následující definice.
Definice 1.4 (násobnost kořene). Nechť \( \displaystyle c\) je kořenem polynomu (1.1). Řekneme že tento kořen je \( \displaystyle k\)-násobný, jestliže existuje polynom \( \displaystyle Q_{n-k}(x)\) stupně \( \displaystyle n - k\) takový, že platí
| \[ \mathbf{P_{n}(x) = (x - c)^{k}Q_{ n-k}(x)}\qquad \text{ a }\qquad \mathbf{Q_{n-k}(c)\neq 0} \] | (1.5) |
Věta 1.4. Polynomy \( \displaystyle P_{n}(x)\) a \( \displaystyle Q_{n-k}(x)\) z předchozí definice mají stejné kořeny včetně násobnosti, s výjimkou kořene \( \displaystyle c\).
Poznámka 1.3 (technická). 
Z předchozí věty plyne, že hledáme-li
kořeny polynomu \( \displaystyle P_{n}(x)\),
je vhodné po nalezení jednoho z nich vydělit polynom \( \displaystyle P_{n}(x)\)
kořenovým činitelem příslušným tomuto kořeni ”maximálně-možně-krát”.
Tím zjistíme násobnost kořene (je to číslo, udávající,
kolikrát se nám podařilo provést dělení beze zbytku) a obdržíme
polynom \( \displaystyle Q_{n-k}(x)\)
z předchozí definice (je to poslední podíl, který vyšel beze zbytku).
Dále budeme hledat kořeny polynomu \( \displaystyle Q_{n-k}(x)\).
Ten je totiž nižšího stupně a tedy jednodušší.
Pojem násobnosti kořene lze ekvivalentně zavést pomocí derivací polynomu \( \displaystyle P(x)\). Tuto ekvivalentní formulaci si uvedeme v následující větě.
Věta 1.5 (souvislost násobnosti kořene s derivací). Číslo \( \displaystyle c\) je \( \displaystyle k\)-násobným kořenem polynomu (1.1) (rovnice (1.2)) právě tedy, když platí
\[ \begin{array}{cl} P_{n}(c) = P'_{n}(c) = P''_{n}(c) =\cdots = P_{n}^{(k-1)}(c) = 0& \end{array} \]a
\[ \begin{array}{cl} P_{n}^{(k)}(c)\neq 0,& \end{array} \]tj. číslo \( \displaystyle c\) je kořenem polynomu \( \displaystyle P_{n}(x)\) a všech jeho derivací do řádu \( \displaystyle (k - 1)\) včetně a není kořenem derivace řádu \( \displaystyle k\).
Poznámka 1.4 (souvislost násobnosti kořene se změnou znaménka). V bodě, který je kořenem násobnosti alespoň \( \displaystyle 2\) má polynom vždy vodorovnou tečnu. Další vlastnosti se řídí tím, jedná-li se o kořen sudé nebo liché násobnosti (viz Obrázek 4.1).
- V okolí kořene liché násobnosti polynom mění znaménko, je monotonní a jedná-li se o kořen násobnosti alespoň \( \displaystyle 3\), má zde funkce inflexní bod.
- V okolí kořene sudé násobnosti polynom nemění znaménko a má zde lokální extrém.
Poznámka 1.5 (určování znaménka racionální lomené funkce). Předešlou poznámku můžeme spolu s Poznámkou 5.2 na straně 80 využít při zjišťování, na kterých intervalech je racionální funkce (tj. podíl dvou polynomů) kladná a na kterých je záporná. Předpokládejme, že čitatel i jmenovatel mají různé kořeny.1 Vyneseme-li na osu \( \displaystyle x\) všechny nulové body funkce (tj. kořeny polynomu figurujícího v čitateli) a všechny body nepojitosti (tj. kořeny polynomu figurujícího ve jmenovateli), rozpadne se osa \( \displaystyle x\) na systém podintervalů. Bolzanova věta zaručuje, že uvnitř žádného získaného podintervalu nemůže výraz změnit znaménko. Věta 1.5 ukazuje, jak spolu souvisí znaménka funkce v sousedních intervalech – jsou stejná, pokud jsou intervaly odděleny kořenem sudé násobnosti a různá, pokud jsou odděleny kořenem násobnosti liché. Stačí tedy znaménko funkce určit jenom v jednom libovolném podintervalu a ostatní znaménka získáme již snadno.
Opakovaným aplikováním Věty 1.2 a základní věty algebry dostáváme následující tvrzení.
Věta 1.6 (počet komplexních kořenů). V oboru komplexních čísel má každý polynom (každá algebraická rovnice) stupně \( \displaystyle n\) právě \( \displaystyle n\) kořenů. Přitom každý kořen počítáme i s jeho násobností.
V praxi nás často zajímají pouze reálné kořeny. Modifikace předchozí věty pro reálné kořeny je následující.
Věta 1.7 (počet reálných kořenů). V oboru reálných
čísel má každý polynom (každá algebraická rovnice)
stupně
\( \displaystyle n\)
celkem buď
\( \displaystyle n\)
kořenů, nebo o sudý počet méně. Přitom každý
kořen počítáme i s jeho násobností.
Poznámka 1.6 (filozofická). Umíme vyřešit libovolnou lineární a kvadratickou rovnici. Lze vyřešit i libovolnou algebraickou rovnici řádu \( \displaystyle 3\) a \( \displaystyle 4\). Není však možné sestrojit algoritmus pro nalezení kořenů rovnice řádu \( \displaystyle 5\) a více! Rovnice vyšších řádů umíme vyřešit jenom v některých speciálních případech. Jsou-li například všechny koeficienty v rovnici celá čísla, umíme (jak si uvedeme níže) nalézt alespoň všechny celočíselné kořeny.
Poznámka 1.7 (technická). Pro řadu úloh v matematice je vhodné umět rozložit polynom na součin polynomů jednodušších. Lze ukázat, že každý polynom lze rozložit na součin, kde jsou jenom kořenové činitele (tj. lineární polynomy tvaru \( \displaystyle (x - c)\) u jednoduchých kořenů a tvaru \( \displaystyle (x - c)^{k}\) u \( \displaystyle k\)-násobných kořenů) a případně kvadratické výrazy, které nemají reálné kořeny, nebo mocniny těchto kvadratických výrazů — toto však není možné provést bez znalosti kořenů tohoto polynomu. V praxi tedy dokážeme zpravidla rozložit na součin pouze kvadratické polynomy, polynomy které mají celočíselné kořeny, případně polynomy, kde rozklad na součin lze provést postupným vytýkáním.
1.1 Odhady kořenů algebraických rovnic
Poznámka 1.8 (praktický význam předchozí věty). Předchozí věta se týká pouze polynomů s celočíselnými koeficienty a říká, že celočíselným kořenem takového polynomu může být pouze dělitel absolutního člene. Je tedy možné si všechny dělitele vypsat (je-li \( \displaystyle a_{n}\neq 0\), je jich konečně mnoho!) a po řadě je otestovat, např. Hornerovým schematem. Navíc, najdeme-li takový kořen, zjistíme opakovaným dělením současně i jeho násobnost. Je-li dále algebraická rovnice normovaná, tj. \( \displaystyle a_{0} = 1\), jsou její reálné kořeny pouze celočíselné nebo iracionální.
Kořeny, které nejsou celočíselné, neumíme obecně u polynomu nalézt. Proto si ukážeme některé přibližné metody pro jejich nalezení. Naším úkolem je zjistit (odhadnout) počet reálných kořenů, najít interval ve kterém tyto kořeny leží a kořeny odseparovat, tj. nalézt systém intervalů s takovou vlastností, že každý interval obsahuje právě jeden kořen polynomu (viz dále).
Věta 1.9 (ohraničenost kořenů). Buďte \( \displaystyle x_{i}\) (pro \( \displaystyle i = 1..n\)) kořeny (i komplexní) polynomu (1.1) (algebraické rovnice (1.2)). Platí
| \[ |x_{i}| < 1 +{ A \over |a_{0}|} , \] | (1.6) |
kde \( \displaystyle A =\mathop{ max}\{|a_{i}|,i = 1..n\}\).
Příklad 1.3 (odhad velikosti kořenů). Pro kořeny \( \displaystyle x_{i}\) polynomu \( \displaystyle P(x) = 2x^{6} - x^{3} + 4x^{2} + x - 6\) platí \( \displaystyle |x_{i}| < 1 +{ 6 \over 2} = 4\).
Pro odhad počtu reálných kladných kořenů slouží následující věta.
Věta 1.10 (Descartova věta). Počet kladných kořenů polynomu (1.1) (algebraické rovnice (1.2)) je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů \( \displaystyle a_{0}\), \( \displaystyle a_{1}\), \( \displaystyle a_{2}\), \( \displaystyle \mathop{\mathop{…}}\), \( \displaystyle a_{n}\), nebo o sudé číslo menší. Případné koeficienty, které jsou rovny nule, přitom neuvažujeme.
Poznámka 1.9 (jeden z důsledků předchozí věty). Okamžitým důsledkem této věty je následující tvrzení: Polynom, jehož všechny koeficienty jsou nezáporná čísla nemůže mít kladné kořeny.
Příklad 1.4 (počet kladných kořenů). Polynom \( \displaystyle P(x) = x^{8} - x^{5} + x^{3} + x^{2} - x + 1\) má buď \( \displaystyle 4\) nebo \( \displaystyle 2\) nebo žádný reálný kladný kořen.
Příklad 1.5 (počet kladných kořenů). Polynom \( \displaystyle P(x) = 2x^{6} - x^{3} + 4x^{2} + x - 6\) má \( \displaystyle 3\) nebo \( \displaystyle 1\) kladný reálný kořen. Tyto kořeny leží v intervalu \( \displaystyle (0,4)\) — viz Příklad 1.3.
Příklad 1.6 (hledání celočíselných kořenů a rozklad na součin). Nalezněme v oboru celých čísel všechna řešení rovnice
| \[ x^{5} + x^{4} - 5x^{3} - 9x^{2} - 24x - 36 = 0. \] |
Celočíselnými kořeny mohou být pouze čísla, která dělí číslo \( \displaystyle 36\), tj. \( \displaystyle \pm 1\), \( \displaystyle \pm 2\), \( \displaystyle \pm 3\), \( \displaystyle \pm 4\), \( \displaystyle \pm 6\), \( \displaystyle \pm 9\), \( \displaystyle \pm 12\), \( \displaystyle \pm 18\) a \( \displaystyle \pm 36\). Tato čísla postupně vyzkoušíme (i jejich násobností, pokud se bude jednat o kořeny) Hornerovým schematem.
Poznámky:
\( \displaystyle ^{1)}\) \( \displaystyle x = -2\) je kořenem násobnosti alespoň jedna. Musíme ověřit násobnost tohoto kořene. Navíc má dále smysl testovat pouze dělitele čísla \( \displaystyle 18\).
\( \displaystyle ^{2)}\) \( \displaystyle x = -2\) je kořenem násobnost alespoň dva. Zkusíme ověřit, zda se nejedná o kořen násobnosti tři nebo více.
\( \displaystyle ^{3)}\) \( \displaystyle x = -2\) tedy je kořen násobnosti pouze dva. Pilnější čtenáři si jistě všimli, že tento řádek nebylo nutné psát. Dvojka totiž není dělitelem čísla \( \displaystyle - 9\), které je absolutním členem polynomu, který odpovídá poslednímu podtrženému řádku.
\( \displaystyle ^{4)}\) \( \displaystyle x = 3\) je kořenem násobnosti alespoň jedna. navíc má smysl testovat dále jenom dělitele čísla \( \displaystyle 3\) a jenom záporná čísla, protože dále uvažujeme polynom, který má pouze kladné koeficienty. Z tohoto důvodu nemůže být číslo \( \displaystyle x = 3\) násobným kořenem a zbývá pouze číslo \( \displaystyle - 3\).
Výsledky: Našli jsme tři celočíselné kořeny \( \displaystyle x_{1,2} = -2\) a \( \displaystyle x_{3} = 3\). Rozklad levé strany rovnice na součin je
| \[ (x + 2)^{2}(x - 3)(x^{2} + 3) = 0. \] |
Odsud lze vidět, že zbylé dva kořeny nejsou reálná čísla, tj. \( \displaystyle x_{4,5}\not \in \mathbb{R}\) (rovnice \( \displaystyle x^{2} + 3 = 0\) nemá v oboru reálných čísel řešení).
