Абелів многовид
А́белів многови́д, алгебраїчна група, яка є проективним многовидом. Відомо, що тоді групова операція є комутативною. Одновимірний абелів многовид – це еліптична крива, тобто гладка крива роду 1. Абеліві многовиди вищих розмірностей були вперше відкриті Н. Г. Абелем та К. Г. Я. Якобі при спробах узагальнити поняття еліптичної функції. Надалі абелів многовид активно вивчали фахівці з алгебраїчної геометрії та теорії функцій (Г. Ф. Б. Ріман, К. Т. В. Вейєрштрасс, Г. Ф. Фробеніус (1849 – 1917), Ж. А. Пуанкаре, Е. Пікар (1856 – 1941)). У 1920-і С. Лефшец (1884 – 1972) заклав основи загальної аналітичної теорії абелівого многовиду як комплексних торів, тобто фактор-груп Cn / Г, де Г – дискретна підгрупа рангу 2n у n-вимірному комплексному просторі Cn. Сучасний вигляд теорії абелівого многовиду у рамках алгебраїчної геометрії надав у 1940-х А. Вейль. Абеліві многовиди відіграють важливу роль в алгебраїчній геометрії, широко застосовуються в теорії чисел, теорії динамічних систем тощо. Зокрема, теорія еліптичних кривих відіграла вирішальну роль у доведенні Ферма великої теореми. А. Вейль використав розвинену ним теорію абелівого многовиду для доведення гіпотези Рімана для алгебраїчних кривих над скінченними полями. В теорії алгебраїчних груп теорема К. Шевалле стверджує, що кожна алгебраїчна група містить нормальну підгрупу, яка є лінійною групою, а фактор-група за якою є абелівим многовидом.
Література
- Мамфорд Д. Абелевы многообразия. Москва: Мир, 1971. 299 с.
- Birkenhake Ch., Lange H. Complex Abelian Varieties. Springer-Verlag. Berlin, 2004.
Автор ВУЕ
Покликання на цю статтю: Дрозд Ю. А. Абелів многовид // Велика українська енциклопедія. URL: https://vue.gov.ua/Абелів многовид (дата звернення: 25.02.2022).
Статус гасла: Оприлюднено
Оприлюднено: 08.04.2020
